Proprietà degli UFD

Massimo comun divisore

Per i domini a ideali principali presi due elementi esiste sempre un $M.C.D.$$M.C.D.$ tra i due e vale l'identità di Bézout. Si può provare l'esistenza di un $M.C.D.$$M.C.D.$ per una sequenza di $n$$n$ elementi. Se definiamo in modo ovvio l'$M.C.D.$$M.C.D.$ di una lista, esso si definisce come $M.C.D.[M.C.D.(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}),a_{n}]$$M.C.D.[M.C.D.(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}),a_{n}]$ riconducendolo al caso dell'$M.C.D.$$M.C.D.$ tra due elementi. Infatti se esiste l'$M.C.D.$$M.C.D.$ tra due elementi, per l'ipotesi induttiva esiste per $n-1$$n-1$ elementi, allora esiste anche l'$M.C.D.$$M.C.D.$ degli $n$$n$ elementi.

Lemma (379)

Supponiamo che $D$$D$ sia un $UFD$$UFD$. Per ogni coppia di elementi $a,b$$a,b$ non nulli, esiste un $M.C.D.(a,b)$$M.C.D.(a,b)$.

 

Dimostrazione

Siano $a,b$$a,b$ due elementi non nulli di $D$$D$. Osserviamo che se uno dei due è unitario, allora c'è un $M.C.D.$$M.C.D.$.

Infatti $a\mid b$$a\mid b$, perché ogni elemento unitario è divisore di qualsiasi elemento e se $b$$b$ è unitario, $M.C.D.(a,b)=b$$M.C.D.(a,b)=b$.

Supponiamo che $a,b$$a,b$ non sono unitari, allora sono decomponibili in un unico modo come prodotti di irriducibili. Consideriamo una fattorizzazione di $a$$a$ in irriducibili. Nella fattorizzazione ci possono essere dei fattori a due a due associati, che chiamo $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$. Raccogliendo eventualmente gli elementi unitari, abbiamo:

$$a=u*p_{1}^{e_{1}}*\dots *p_{r}^{e_{r}}$$

$$a=u*p_{1}^{e_{1}}*\dots *p_{r}^{e_{r}}$$

dove i $p_{i}$$p_{i}$ non sono fra loro associati, ma sono a due a due non associati.

Possiamo scrivere

$$a=u*p_{1}^{e_{1}}*\dots *p_{t}^{e_{t}}$$

$$a=u*p_{1}^{e_{1}}*\dots *p_{t}^{e_{t}}$$

$$b=u'*p_{1}^{f_{1}}*\dots *p_{t}^{f_{t}}$$

$$b=u'*p_{1}^{f_{1}}*\dots *p_{t}^{f_{t}}$$

con $u,u'$$u,u'$ elementi unitari e con $e_{i},f_{i}>0$$e_{i},f_{i}>0$ per ogni $0<i<t$$0<i<t$.

Come basi compaiono gli stessi fattori irriducibili, se un fattore irriducibile di $a$$a$ non è fattore di $b$$b$, allora comparirà con esponente $0$$0$ nella fattorizzazione di $b$$b$.

Chiamiamo $h_{i}=\min(e_{i},f_{i})$$h_{i}=\min(e_{i},f_{i})$. Chiamiamo $d=p_{1}^{h_{1}}*\dots *p_{t}^{h_{t}}$$d=p_{1}^{h_{1}}*\dots *p_{t}^{h_{t}}$. Allora $d\mid a$$d\mid a$ e $d\mid b$$d\mid b$. Se $c\in D$$c\in D$ e $c\mid a$$c\mid a$ e $c\mid b$$c\mid b$, per l'unicità di fattorizzazione $c$$c$ è un sottoprodotto di $a$$a$ e di $b$$b$, cioè

$$c={\bar {u}}*p_{1}^{l_{1}}*\dots *p_{t}^{l_{t}}$$

$$c={\bar {u}}*p_{1}^{l_{1}}*\dots *p_{t}^{l_{t}}$$

con $0\leq l_{i}\leq e_{i},f_{i}$$0\leq l_{i}\leq e_{i},f_{i}$ per ogni $i$$i$. Allora siccome $h_{i}=\min(e_{i},f_{i})$$h_{i}=\min(e_{i},f_{i})$ questi fattori compaiono in $c$$c$ con esponenti che non superano $e_{i},f_{i}$$e_{i},f_{i}$ allora $c\mid d$$c\mid d$ e $d$$d$ è massimo comun divisore.

 

Relazione tra primi e irriducibili

Lemma (380)

Sia $D$$D$ un dominio a fattorizzazione unica. Allora se $p\in D$$p\in D$ è irriducibile, $p$$p$ è necessariamente primo.

 

Dimostrazione

Sia $p$$p$ irriducibile in $D$$D$ e si supponga che $p\mid ab$$p\mid ab$ con $a,b\neq 0$$a,b\neq 0$. Allora esiste $c\in D$$c\in D$ tale che $ab=pc$$ab=pc$. $a$$a$ può essere unitario e se $a\in U$$a\in U$, allora $a$$a$ è invertibile. Se $a$$a$ ammette inverso $a^{-1}$$a^{-1}$ si può scrivere $p\mid b$$p\mid b$. Similmente se $b$$b$ è unitario, ragionando allo stesso modo, $p\mid a$$p\mid a$.

Supponiamo dunque che $a,b$$a,b$ non siano elementi unitari, allora sono fattorizzabili in irriducibili. Sia $a=p_{1}*p_{2}*p_{s}$$a=p_{1}*p_{2}*p_{s}$ e $b=q_{1}*q_{2}*q_{t}$$b=q_{1}*q_{2}*q_{t}$ ove i $p_{i}$$p_{i}$ e i $q_{j}$$q_{j}$ sono irriducibili in $D$$D$. Allora il prodotto $ab=p_{1}*\dots *p_{s}*q_{1}*\dots *q_{t}$$ab=p_{1}*\dots *p_{s}*q_{1}*\dots *q_{t}$. Siccome per ipotesi $p\mid ab$$p\mid ab$ e $p$$p$ è irriducibile, allora per l'unicità della fattorizzazione $p$$p$ è associato a uno dei $p_{i}$$p_{i}$ o dei $q_{j}$$q_{j}$ cioè differisce da loro per un elemento unitario. Allora se $p$$p$ è associato a $p_{i}$$p_{i}$, si ha $p\mid a$$p\mid a$. Se invece $p\sim q_{i}$$p\sim q_{i}$ si ha $p\mid b$$p\mid b$.

 

Consideriamo $D=\mathbb {Z}$$D=\mathbb {Z}$ dominio a fattorizzazione unica e sia $f(x)\in P[x]$$f(x)\in P[x]$ un polinomio a coefficienti non nulli. Se $D=\mathbb {Z}$$D=\mathbb {Z}$, allora $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ ha ideali non principali, pur essendo a fattorizzazione unica, nonostante $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ sia a ideali principali. Per questo era necessario estendere i due lemmi ai $UFD$$UFD$.

Polinomio primitivo

Definizione (381 Polinomio primitivo)

Se $f(x)$$f(x)$ è un polinomio si può scrivere

$$f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

$$f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

Sia $c=c_{F}$$c=c_{F}$ un $M.C.D.$$M.C.D.$ dei coefficienti non nulli di $f(x)$$f(x)$. Allora $c$$c$ è definito a meno di elementi unitari di $D$$D$. Se $0\neq f(x)\in P[x]$$0\neq f(x)\in P[x]$ si dice primitivo se $c=1$$c=1$, cioè se i coefficienti sono a due a due coprimi.

 

Osservazione (382)

Se $c$$c$ è come sopra, per ogni coefficiente si può scrivere $a_{i}=c*a_{i}'$$a_{i}=c*a_{i}'$ per $0<i<n$$0<i<n$. Allora posso raccogliere $c$$c$ da ciascun coefficiente e scrivere

$$f(x)=c*[a_{n}'*x^{n}+\dots +a_{1}'*x+a_{0}']$$

$$f(x)=c*[a_{n}'*x^{n}+\dots +a_{1}'*x+a_{0}']$$

e gli $a_{i}'$$a_{i}'$ sono a due a due coprimi. Se chiamo $f_{1}(x)=a_{n}'*x^{n}+\dots +a_{1}'*x+a_{0}'$$f_{1}(x)=a_{n}'*x^{n}+\dots +a_{1}'*x+a_{0}'$ esso è primitivo in $D[x]$$D[x]$.

Raccogliendo il massimo comun divisore tra i coefficienti ottengo uno scalare per un polinomio primitivo.

Notiamo che se $f(x)=c_{1}*f_{2}(x)$$f(x)=c_{1}*f_{2}(x)$ con $c_{1}\in D$$c_{1}\in D$ e $f_{2}(x)$$f_{2}(x)$ primitivo in $D[x]$$D[x]$, si ha che $c_{1}=u*c$$c_{1}=u*c$ e $f_{1}(x)$$f_{1}(x)$ è associato a $f_{2}(x)$$f_{2}(x)$. Infatti per ogni coefficiente si ha:

$$a_{i}=c*a_{i}'=c_{1}*a_{i}''$$

$$a_{i}=c*a_{i}'=c_{1}*a_{i}''$$

Siccome i coefficienti sono a due a due coprimi, $c_{1}$$c_1$ è anch'esso $M.C.D.$$M.C.D.$ tra gli $a_{i}$$a_{i}$ e si può scrivere $c_{1}=u*c$$c_{1}=u*c$ con $u$$u$ unitario. Allora

$$f(x)=c_{1}*f_{2}(x)=u*c_{1}*f_{1}(x)$$

$$f(x)=c_{1}*f_{2}(x)=u*c_{1}*f_{1}(x)$$

cioè semplificando per $c_{1}$$c_1$, $u*f_{1}(x)=f_{2}(x)$$u*f_{1}(x)=f_{2}(x)$, e quindi $f_{1}(x)$$f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$$f_{2}(x)$ sono associati.

 

Lemmi importanti

Lemma (383)

Se prendiamo un polinomio non nullo $0\neq f(x)$$0\neq f(x)$ a coefficienti in $F[x]$$F[x]$ dove $F$$F$ è il campo delle frazioni di $D$$D$, allora si può scrivere

$$f(x)=\alpha *f_{1}(x)$$

$$f(x)=\alpha *f_{1}(x)$$

con $\alpha$$\alpha$ scalare non nullo in $F$$F$ e $f_{1}(x)$$f_{1}(x)$ polinomio primitivo in $D[x]$$D[x]$. Una tale espressione è unica a meno di elementi unitari.

 

Dimostrazione

Sia $f(x)=\alpha _{n}*x_{n}+\dots +\alpha _{1}*x+\alpha _{0}$$f(x)=\alpha _{n}*x_{n}+\dots +\alpha _{1}*x+\alpha _{0}$ con $\alpha _{i}\in F$$\alpha _{i}\in F$ e supponiamo che $\alpha _{n}\neq 0$$\alpha _{n}\neq 0$, cioè $gr(f(x))=n$$gr(f(x))=n$. Per ogni $i$$i$, $\alpha _{i}=a_{i}*b_{i}^{-1}$$\alpha _{i}=a_{i}*b_{i}^{-1}$ dove $a_{i},b_{i}\in D$$a_{i},b_{i}\in D$ e $b_{i}\neq 0$$b_{i}\neq 0$ (gli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ sono frazioni). Poniamo $b=\displaystyle \prod _{i=0}^{n}b_{i}$$b=\displaystyle \prod _{i=0}^{n}b_{i}$.

Allora $b*f(x)$$b*f(x)$ appartiene a $D[x]$$D[x]$ e per le osservazioni precedenti possiamo scrivere $b*f(x)=c*f_{1}(x)$$b*f(x)=c*f_{1}(x)$ ove $c\in D$$c\in D$ e $f_{1}(x)$$f_{1}(x)$ ha coefficienti in $D$$D$ ed è primitivo. Posto $\alpha =cb^{-1}$$\alpha =cb^{-1}$, si ha $f(x)=\alpha *f_{1}(x)$$f(x)=\alpha *f_{1}(x)$.

Per quanto riguarda l'unicità, supponiamo che $f(x)=\beta *f_{2}(x)$$f(x)=\beta *f_{2}(x)$ don $\beta \in F$$\beta \in F$ e $f_{2}(x)\in D[x]$$f_{2}(x)\in D[x]$ ed è primitivo. Sia $\beta \in F$$\beta \in F$, $\beta =d*e^{-1}$$\beta =d*e^{-1}$ con $d,e\in D$$d,e\in D$ e $e\neq 0$$e\neq 0$. Allora posso scrivere $f(x)=c*b^{-1}*f_{1}(x)=d*e^{-1}*f_{2}(x)$$f(x)=c*b^{-1}*f_{1}(x)=d*e^{-1}*f_{2}(x)$ da cui, moltiplicando per $b$$b$ ed $e$$e$

$$c*e*f_{1}(x)=d*b*f_{2}(x)$$

$$c*e*f_{1}(x)=d*b*f_{2}(x)$$

Quest'uguaglianza è un'uguaglianza fra polinomi in $D[x]$$D[x]$. Per quanto visto sopra, $ce=ubd$$ce=ubd$ in $D$$D$. Quindi $db=uce$$db=uce$ per un opportuno $u$$u$ unitario in $D$$D$. Segue che $de^{-1}=u*cb^{-1}$$de^{-1}=u*cb^{-1}$ ovvero $\beta$$\beta$ differisce da $\alpha$$\alpha$ per un elemento unitario $u$$u$. Infine segue ancora che $\alpha *f_{1}(x)=\beta *f_{2}(x)=\alpha *u*f_{2}(x)$$\alpha *f_{1}(x)=\beta *f_{2}(x)=\alpha *u*f_{2}(x)$, cioè semplificando per $\alpha$$\alpha$, $f_{1}(x)$$f_{1}(x)$ differisce da $f_{2}(x)$$f_{2}(x)$ per un elemento unitario e la scrittura sopra è unica a meno di elementi unitari.

 

Corollario (384)

Siano $f(x),g(x)\in D[x]$$f(x),g(x)\in D[x]$ primitivi e associati in $F[x]$$F[x]$ (cioè differenti per un elemento unitario di $F$$F$ cioè una costante non nulla). Allora $f(x)$$f(x)$ e $g(x)$$g(x)$ sono associati in $D[x]$$D[x]$, cioè differiscono per un elemento unitario di $D$$D$.

 

Dimostrazione

Prendiamo $f(x)$$f(x)$, $g(x)$$g(x)$ polinomi di $D[x]$$D[x]$ associati in $F[x]$$F[x]$, allora $f(x)=\alpha *g(x)$$f(x)=\alpha *g(x)$ con $0\neq \alpha \in F$$0\neq \alpha \in F$. Inoltre, $\alpha \sim 1_{F}=1_{D}$$\alpha \sim 1_{F}=1_{D}$, quindi $1_{d}*f(x)=\alpha *g(x)$$1_{d}*f(x)=\alpha *g(x)$, quindi per la parte sull'unicità del lemma 1, $f(x)\sim g(x)$$f(x)\sim g(x)$ e $1_{D}\sim \alpha$$1_{D}\sim \alpha$, cioè i due polinomi sono associati in $D[x]$$D[x]$.

 

Lemma (385 Lemma di Gauss)

Il prodotto di due polinomi $f(x),g(x)$$f(x), g(x)$ primitivi in $D[x]$$D[x]$ è primitivo in $D[x]$$D[x]$.

 

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che $h(x)=g(x)*f(x)$$h(x)=g(x)*f(x)$ non sia primitivo in $D[x]$$D[x]$. Allora $M.C.D.$$M.C.D.$ tra i coefficienti di $h(x)$$h(x)$ non è unitario. Allora esiste $p\in D$$p\in D$ irriducibile tale che $p\mid h(x)$$p\mid h(x)$ ma $p\nmid f(x)\wedge p\nmid g(x)$$p\nmid f(x)\wedge p\nmid g(x)$ perché $M.C.D.$$M.C.D.$ tra i coefficienti di $f(x)$$f(x)$ e $g(x)$$g(x)$ è $1$$1$.

Siccome in ogni $UFD$$UFD$ ogni irriducibile è primo, allora $p$$p$ è primo in $D$$D$. Ciò equivale a dire che l'anello quoziente ${\bar {D}}={\frac {D}{(p)}}$${\bar {D}}={\frac {D}{(p)}}$ è un dominio, cioè non ha divisori dello zero (questo vale perché $(p)$$(p)$ è primo). Se ${\bar {D}}$${\bar {D}}$ è un dominio, anche ${\bar {D}}[x]$${\bar {D}}[x]$ è un dominio. Chiamiamo ora $\phi \colon D[x]\to {\bar {D}}[x]$$\phi \colon D[x]\to {\bar {D}}[x]$ l'omomorfismo indotto dall'epimorfismo canonico $\colon D\to {\bar {D}}$$\colon D\to {\bar {D}}$, che ad ogni elemento $d\in D$$d\in D$ associa $d+(p)$$d+(p)$.

Invece il morfismo $\phi$$\phi$ associa a ogni polinomio $f(x)\in D[x]$$f(x)\in D[x]$ il polinomio ${\bar {a}}^{n}*x_{n}+\dots +{\bar {a}}*x+a+(p)$${\bar {a}}^{n}*x_{n}+\dots +{\bar {a}}*x+a+(p)$ dove $(p)$$(p)$ è l'ideale principale generato da $p$$p$.

Siccome questo è un morfismo di anelli, allora

$$\phi (f(x)*g(x))=\phi (f(x))*\phi (g(x))$$

$$\phi (f(x)*g(x))=\phi (f(x))*\phi (g(x))$$

ovvero se ${\bar {f}}(x)$${\bar {f}}(x)$ è il polinomio immagine, posso riscriverlo come $\phi (h(x))={\bar {h}}(x)={\bar {f}}(x)*{\bar {g}}(x)$$\phi (h(x))={\bar {h}}(x)={\bar {f}}(x)*{\bar {g}}(x)$. Ma $h(x)$$h(x)$ è divisibile per $p$$p$. Tutti i coefficienti di $h(x)$$h(x)$ sono divisibili per $p$$p$, allora nel quoziente i coefficienti sono tutti uguali a 0, cioè ${\bar {h}}(x)=0$${\bar {h}}(x)=0$. Siccome $p\nmid f(x)$$p\nmid f(x)$ si ha ${\bar {f}}(x)\neq 0,{\bar {g}}(x)\neq 0$${\bar {f}}(x)\neq 0,{\bar {g}}(x)\neq 0$.

Ma questa è una contraddizione, perché in un dominio non ci sono divisori dello zero.

 

Lemma (386 Conseguenza del Lemma di Gauss)

Sia $f(x)$$f(x)$ un polinomio a coefficienti in $D$$D$ irriducibile in $D[x]$$D[x]$ e di grado positivo (siccome non siamo in un campo, una costante non unitaria può essere riducibile). Allora $f(x)$$f(x)$ è irriducibile anche in $F[x]$$F[x]$. (un polinomio irriducibile negli interi lo è anche nei razionali)

 

Dimostrazione

$f(x)$$f(x)$ è necessariamente primitivo in $D[x]$$D[x]$, perché in caso contrario avrebbe una fattorizzazione non banale in $D[x]$$D[x]$ della forma $f(x)=a*{\bar {f}}(x)$$f(x)=a*{\bar {f}}(x)$ con $a$$a$ non unitario in $D$$D$ e non nullo.

Supponiamo per assurdo che $f(x)$$f(x)$ sia riducibile in $F[x]$$F[x]$, allora $f(x)=a(x)*b(x)$$f(x)=a(x)*b(x)$ a coefficienti in $F$$F$ entrambi di grado positivo.

Per il lemma 1 sappiamo che $a(x)=\alpha *f_{1}(x)$$a(x)=\alpha *f_{1}(x)$ e $b(x)=\beta *f_{2}(x)$$b(x)=\beta *f_{2}(x)$ con $f_{1}(x),f_{2}(x)$$f_{1}(x),f_{2}(x)$ primitivi in $D[x]$$D[x]$ e $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ elementi di $F$$F$, necessariamente unitari perché ogni costante è unitaria in un campo.

Segue che posso scrivere $f(x)=a(x)*b(x)=(\alpha \beta )*f_{1}(x)*f_{2}(x)$$f(x)=a(x)*b(x)=(\alpha \beta )*f_{1}(x)*f_{2}(x)$ dove siccome $f_{1}(x),f_{2}(x)$$f_{1}(x),f_{2}(x)$ sono primitivi in $D[x]$$D[x]$, allora il prodotto è primitivo in $D[x]$$D[x]$ per il lemma 2.

Segue a sua volta che per il corollario al lemma 1, un polinomio primitivo in $D[x]$$D[x]$ è uguale a uno scalare in $F$$F$ per un polinomio primitivo in $D[x]$$D[x]$. I due elementi differiscono per un elemento unitario. Poiché $f_{1}(x),f_{2}(x)$$f_{1}(x),f_{2}(x)$ hanno grado $\geq 0$$\geq 0$, allora ho una contraddizione rispetto all'ipotesi che $f(x)$$f(x)$ è irriducibile in $D[x]$$D[x]$ perché ho una fattorizzazione non banale. Ciò conferma l'irriducibilità di $f(x)$$f(x)$ in $F[x]$$F[x]$, perché l'assurdo non può valere.

 

Criterio di Eisenstein

Teorema (387 Criterio di Eisenstein)

Sia $f(x)=a_{n}*x^{n}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$f(x)=a_{n}*x^{n}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$ un polinomio a coefficienti interi appartenente a $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ di grado $n$$n$ positivo. Supponiamo che esista un primo $p\in \mathbb {Z}$$p\in \mathbb {Z}$ tale che $p\mid a_{i}$$p\mid a_{i}$ per ogni $i=0,n-1$$i=0,n-1$, $p\nmid a_{n}$$p\nmid a_{n}$, $p^{2}\nmid a_{0}$$p^{2}\nmid a_{0}$. Allora $f(x)$$f(x)$ è irriducibile in $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$.

 

Dimostrazione

Osserviamo che poiché $p\nmid a_{n}$$p\nmid a_{n}$, allora senza perdere generalità possiamo supporre che $f(x)$$f(x)$ sia primitivo in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$. Se non lo fosse, semplificando per il massimo comun divisore dei coefficienti si ottiene ancora un polinomio primitivo.

Supponiamo che $f(x)$$f(x)$ sia riducibile in $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$. Allora per il lemma 3, $f(x)$$f(x)$ è riducibile in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$, sia $f(x)$$f(x)$ fattorizzabile come $b(x)*c(x)$$b(x)*c(x)$ ove per assurdo $b(x),c(x)$$b(x),c(x)$ sono polinomi di grado positivo a coefficienti interi.

Scrivendoli esplicitamente si ha

$$b(x)=b_{m}*x^{m}+\dots +b_{1}*x+b_{0}$$

$$b(x)=b_{m}*x^{m}+\dots +b_{1}*x+b_{0}$$

$$c(x)=c_{n-m}*x^{n-m}+\dots +c_{1}*x+c_{0}$$

$$c(x)=c_{n-m}*x^{n-m}+\dots +c_{1}*x+c_{0}$$

sono polinomi in $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ di grado maggiore di zero.

Se $f(x)=b(x)*c(x)$$f(x)=b(x)*c(x)$ allora il termine noto è il prodotto dei termini noti.

$$a_{0}=b_{0}*c_{0}$$

$$a_{0}=b_{0}*c_{0}$$

Siccome per ipotesi $p$$p$ è primo e divide $a_{0}$$a_0$, allora o $p\mid b_{0}$$p\mid b_{0}$ o $p\mid c_{0}$$p\mid c_{0}$. Supponiamo ad esempio che $p\mid b_{0}$$p\mid b_{0}$. Per ipotesi, $p^{2}\nmid a_{0}$$p^{2}\nmid a_{0}$, cioè se $p\mid b_{0}$$p\mid b_{0}$, $p\nmid c_{0}$$p\nmid c_{0}$.

Consideriamo l'epimorfismo $\phi \colon \mathbb {Z} \to {\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}[x]$$\phi \colon \mathbb {Z} \to {\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}[x]$ indotto dall'epimorfismo canonico $\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(p)$$\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(p)$.

$$\phi (p(x)=[a_{n}]*x^{n}+\dots +[a_{1}]*x+[a_{0}]$$

$$\phi (p(x)=[a_{n}]*x^{n}+\dots +[a_{1}]*x+[a_{0}]$$

Allora si ha che $\phi (f(x))$$\phi (f(x))$ siccome $p$$p$ divide tutti i coefficienti in mezzo, rimane solo $[a_{n}]*x^{n}$$[a_{n}]*x^{n}$ e siccome $p\nmid a_{n}$$p\nmid a_{n}$, $[a_{n}]\neq [0]$$[a_{n}]\neq [0]$ e questo non è il polinomio nullo. D'altronde $\phi (c(x))=[c_{n-m}]_{p}*x^{n-m}+\dots +[c_{1}]_{p}*x+[c_{0}]_{p}$$\phi (c(x))=[c_{n-m}]_{p}*x^{n-m}+\dots +[c_{1}]_{p}*x+[c_{0}]_{p}$. Siccome $\phi$$\phi$ è un morfismo, si ha

$$\phi (f(x))=\phi (b(x)*c(x))$$

$$\phi (f(x))=\phi (b(x)*c(x))$$

cioè $\phi (c(x))$$\phi (c(x))$ è un fattore di $\phi (f(x))$$\phi (f(x))$. Ciò implica che $\phi (c(x))=[c_{n-m}]_{p}*x^{n-m}$$\phi (c(x))=[c_{n-m}]_{p}*x^{n-m}$. Allora in particolare $[c_{0}]_{p}=0\in {\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$$[c_{0}]_{p}=0\in {\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ ma questo è assurdo perché $p\nmid c_{0}$$p\nmid c_{0}$.

 

Possiamo concludere che ci sono polinomi irriducibili sui razionali per ogni possibile grado. Allora i polinomi $a_{n}*x^{n}+a_{0}$$a_{n}*x^{n}+a_{0}$ è sempre irriducibile per ogni grado.

Esiste anche l'algoritmo di Kroneker che permette di fattorizzare gli irriducibili sui razionali.

Si può anche scegliere un primo opportuno che non divide il coefficiente direttivo del polinomio. Si riducono i coefficienti di $f(x)$$f(x)$ modulo $p$$p$ se il polinomio non è riducibile in ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ non lo è nemmeno in $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$.

Se $D$$D$ è un dominio, $D[x]$$D[x]$ è a ideali principali solo se $D$$D$ è un campo.