Immersione di un dominio in un campo

==Teorema==
Ci si può chiedere se un dominio si può considerare come sottoanello di un opportuno campo.


{{InizioTeorema|title=374}}
Sia <math>D</math> un dominio. Ogni dominio <math>D</math> si può immergere in (è isomorfo a un sottoanello di) un campo <math>F</math>. Esiste <math>D'</math>
sottoanello di <math>F</math> e un monomorfismo <math>\eta \colon D \to F</math> tale che <math>\eta(D)=D'</math>.
{{FineTeorema}}

{{InizioDimostrazione}}
Cominciamo con il supporre che <math>D</math> sia già un sottoanello di un campo <math>E</math>. Consideriamo il sottocampo <math>F</math> di <math>E</math> generato da <math>D</math>,
cioè <math>F</math> è l'intersezione di tutti i sottocampi di <math>E</math> contenenti <math>D</math>.


Dimostro che <math>F = \{ab^{-1} \in E: a,b \in D, b \neq 0  \}</math>. <math>b^{-1}</math> è l'inverso di <math>b</math> in <math>E</math>.


La parentesi a destra è un sottoinsieme di <math>F</math>, inoltre contiene <math>D</math> perché contiene tutti gli elementi <math>a*(1_D)^{-1} = a \in D</math>.


Inoltre, l'insieme tra parentesi graffe è un sottocampo di <math>E</math> infatti:

*è chiuso ridpetto alla differenza, infatti
<math display="block">a*b^{-1}-c*d^{-1} = a*b^{-1}*d*d^{-1}-c*d^{-1}*b*b^{-1} = (ad-bc)*(db)^{-1}</math>
e questo è ancora un elemento dell'insieme tra parentesi graffe.

*è un sottogruppo di <math>E</math> rispetto al prodotto, cioè soddisfa il criterio <math>a*b^{-1}</math> in <math>G</math> con <math>a,b \in G</math>
Prendo <math>a*b^{-1}=a</math><math>c*d^{-1}=b</math>. Allora
<math display="block">[(ab^{-1})*(cd^{-1})]^{-1}= ab^{-1}*dc^{-1} = ad*(cb)^{-1}</math>
che appartiene ancora all'insieme.

Quindi l'insieme tra parentesi è un sottocampo di <math>E</math> che contiene <math>D</math> ed è contenuto nell'intersezione di tutti i campi che contengono <math>D</math>,
quindi coincide con <math>F</math>.
{{FineDimostrazione}}




Con questo teorema si può capire come creare un campo che contiene un anello e che sia minimale.



Consideriamo l'insieme
<math display="block">D \times D^* = \{ (a,b) t.c. a,b \in D, b \neq 0 \}</math>

Su <math>D \times D^*</math> definiamo una relazione <math>\sim</math> che associa a due coppie <math>(a,b)</math> e <math>(c,d)</math> se e solo se <math>ad = bc</math>.
Questa relazione è di equivalenza. Allora consideriamo l'insieme quoziente <math>\frac{D \times D^*}{\sim}</math>.  
Denotiamo con <math>a/b</math> la classe di equivalenza contenente la
coppia <math>(a,b)</math>. Ogni coppia <math>(a,b)</math> si chiama frazione. <math>a/b</math> è per abuso di linguaggio la frazione individuata dalla coppia <math>(a,b)</math>.


Sia <math>F</math> l'insieme quoziente <math>\frac{D \times D^*}{\sim} = \{ a/b \}</math> (qui, come nel teorema precedente, <math>F=\{ab^{-1}, \, \, a,b \in D \}</math>).
Notiamo che la classe di equivalenza <math>[a/b]</math> coincide con <math>[c/d]</math> se e solo se <math>ad=bc</math>.


Sull'insieme quoziente definisco somma e prodotto.

*La somma <math>[a/b]+[c/d] = [(ad+bc)/(bd)]</math>. Si può verificare che questa operazione è ben definita, cioè che cambiando 
rappresentanti per le classi di equivalenza si trova come somma la stessa frazione.

*Il prodotto <math>[a/b]*[c/d] = [\frac{ac}{bd}]</math>. Il prodotto è ben definito e commutativo.

Rispetto alla somma, il quoziente è un gruppo abeliano con <math>0</math> uguale alla classe <math>[0/1]</math> che contiene tutte le coppie del tipo <math>(0,b)</math>.
Rispetto al prodotto, <math>F^*</math> è un gruppo con unità. L'unità è la classe <math>[1/1]</math>. L'inverso di <math>[a/b]</math> è la classe di <math>b/a</math>.


Valgono le proprietà distributive, cioè <math>F</math> è un campo.



Consideriamo l'applicazione <math>\eta \colon D \to F</math> definita ponendo per ogni elemento <math>a \in D</math>, <math>\eta(a) = a/1</math>. 
Questa applicazione <math>\eta</math> conserva la somma e il prodotto, quindi <math>\eta(a+b) = (a+b)/1 = a/1+b/1 = \eta(a)+\eta(b)</math>.


Similmente è conservato il prodotto:
<math display="block">\eta(a*b) = (ab)/1 = a/1*b/1 = \eta(a)*\eta(b)</math><math display="block">\eta(1_D) = 1_D/1_D = 1_F</math>
Il nucleo è ridotto a <math>0</math>, perché preso un elemento <math>a</math> con immagine <math>a/1</math>, se questo elemento ha come immagine <math>0/1</math>
si ha <math>a*1=0*1</math> cioè <math>a=0</math>.


Quindi il morfismo è iniettivo, <math>\eta(D)</math> è isomorfo a <math>D</math> ed è un sottoanello di <math>F</math>.

==Osservazioni==
{{InizioOsservazione|title=375}}
Identificando ogni <math>a \in D</math> con <math>\eta(a)=a/1</math>, si identifica <math>D</math> con <math>\eta(D)</math> e pertanto si può considerare <math>D</math> come sottoanello di <math>F</math>.
{{FineOsservazione}}



{{InizioOsservazione|title=376}}
Notiamo che per ogni <math>a/b</math> possiamo scrivere <math>a/b = a/1*1/b = (a/1)*(b/1)^{-1}</math> allora <math>a/b</math> si può considerare
come prodotto in <math>F</math> di <math>a</math> per l'inverso di <math>b</math>. Quindi per le considerazioni iniziali <math>D</math> genera <math>F</math>.


Nessun sottocampo proprio di <math>F</math> può contenere <math>D</math>.
{{FineOsservazione}}

==Campo delle frazioni==
{{InizioDefinizione|title=377 Campo delle frazioni}}
Diremo che <math>F</math> è il ''campo delle frazioni'' o campo dei quozienti del dominio <math>D</math>.
{{FineDefinizione}}

Ad esempio, se <math>D</math> è il dominio degli interi, si può costruire come campo delle frazioni il campo dei razionali.



Si può provare il seguente teorema:

{{InizioTeorema|title=378}}
Costruiamo <math>F</math> e <math>D</math> come sopra. Sia <math>\eta_d</math> un monomorfismo di <math>D</math> a un campo <math>F'</math>, cioè un'immersione di <math>D</math> in un
campo <math>F'</math>. Allora <math>\eta_d</math> si può estendere in un unico modo a un monomorfismo <math>\eta_f</math> dal campo <math>F</math> a <math>F'</math>, 
cioè si può estendere <math>\eta_d</math> a un morfismo di campi.


In particolare, se <math>F'</math> è generato da <math>\eta_d(D)</math> allora è isomorfo a <math>F</math> perché deve contenere <math>F</math>.
{{FineTeorema}}

{{InizioDimostrazione}}
Si consideri la mappa <math>\eta_f</math> che preso un elemento di <math>F</math><math>a/b = ab^{-1}</math> associa <math>\eta_d(a)*\eta_d(b)^{-1}</math> che va da <math>F</math> a <math>F'</math> ed 
è un monomorfismo. <math>\eta_f</math> estende <math>\eta_d</math>, cioè <math>\eta_f(a)=\eta_d(a)</math>. E' iniettiva, è unica. Ogni <math>\bar \eta_f</math> che estende <math>\eta_d</math> è 
tale che l'immagine di un qualsiasi elemento di <math>F</math> è necessariamente la stessa di <math>\eta_f</math>.
{{FineDimostrazione}}