Generalità sugli anelli

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==Definizione==
 
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Una terna costituita da un insieme non vuoto <math>A</math> su cui si definiscono due operazioni binarie <math>+,\cdot</math> si dice ''anello''  
 
Una terna costituita da un insieme non vuoto <math>A</math> su cui si definiscono due operazioni binarie <math>+,\cdot</math> si dice ''anello''  
 
se sono soddisfatti i seguenti assiomi:
 
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==Esempi==
 
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<math>(\mathbb Z ,+,\cdot)</math>, <math>(\mathbb Q ,+,\cdot)</math><math>(\mathbb R ,+,\cdot)</math> e <math>(\mathbb C ,+,\cdot)</math> rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.
 
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Nell'insieme delle classi di resti modulo <math>n</math><math>\mathbb Z /n\mathbb Z</math> con <math>n>1</math> fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la
 
Nell'insieme delle classi di resti modulo <math>n</math><math>\mathbb Z /n\mathbb Z</math> con <math>n>1</math> fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la
 
terna <math>(\mathbb Z /n\mathbb Z ,+,\cdot)</math> è un anello finito commutativo.
 
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Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio <math>M=Mat(n,A)</math>, cioè l'insieme di tutte le matrici <math>n \times n</math>, a coefficienti nell'anello <math>A</math>,  
 
Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio <math>M=Mat(n,A)</math>, cioè l'insieme di tutte le matrici <math>n \times n</math>, a coefficienti nell'anello <math>A</math>,  
 
con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se <math>n>1</math>, se <math>n=1</math> l'anello si identifica con <math>A</math>.
 
con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se <math>n>1</math>, se <math>n=1</math> l'anello si identifica con <math>A</math>.
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==Proprietà elementari==
 
==Proprietà elementari==
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Sia <math>A</math> un anello. <math>\forall a,b \in A</math>, <math>\forall n \in \mathbb Z</math> valgono le seguenti proprietà:
 
Sia <math>A</math> un anello. <math>\forall a,b \in A</math>, <math>\forall n \in \mathbb Z</math> valgono le seguenti proprietà:
  
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Prendo il quadrato di <math>A</math>, cioè <math>a^2 = a \cdot a = (a+0)*a = a*a+a*0</math> per la proprietà distributiva.
 
Prendo il quadrato di <math>A</math>, cioè <math>a^2 = a \cdot a = (a+0)*a = a*a+a*0</math> per la proprietà distributiva.
 
Quindi <math>a^2 = a^2+a*0</math>.
 
Quindi <math>a^2 = a^2+a*0</math>.
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E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:
 
E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:
 
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Si dimostra per induzione su <math>n</math> se <math>n \ge 0</math>. L'asserto è vero per <math>n=0</math> e quindi il multiplo <math>na</math> è <math>0</math>.
 
Si dimostra per induzione su <math>n</math> se <math>n \ge 0</math>. L'asserto è vero per <math>n=0</math> e quindi il multiplo <math>na</math> è <math>0</math>.
 
Per <math>n=1</math> si ottiene
 
Per <math>n=1</math> si ottiene
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Un anello con il solo zero si chiama anello banale.  
 
Un anello con il solo zero si chiama anello banale.  
 
Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.
 
Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.
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Conseguenza della proprietà dello zero:
 
Conseguenza della proprietà dello zero:
 
Supponiamo <math>a \in A, a \neq 0</math>, cioè l'anello <math>A</math> è diverso dall'anello banale.  
 
Supponiamo <math>a \in A, a \neq 0</math>, cioè l'anello <math>A</math> è diverso dall'anello banale.  
 
L'unità e lo zero non coincidono, infatti <math>a*1_A = a</math> ma per la proprietà dello zero <math>a*0=0</math>, quindi <math>1_A \neq 0</math> perché ho scelto <math>a \neq 0</math>.
 
L'unità e lo zero non coincidono, infatti <math>a*1_A = a</math> ma per la proprietà dello zero <math>a*0=0</math>, quindi <math>1_A \neq 0</math> perché ho scelto <math>a \neq 0</math>.
 
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Versione attuale delle 15:17, 21 mag 2018

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (239 Anello)

Una terna costituita da un insieme non vuoto su cui si definiscono due operazioni binarie si dice anello se sono soddisfatti i seguenti assiomi:

  1. è un gruppo abeliano;
  2. è un monoide, cioè un semigruppo con unità;
  3. Valgono le proprietà distributive, cioè per ogni , e anche .

Se inoltre il prodotto è commutativo, si dice che è un anello commutativo.

 


Nota: Non è necessario che il prodotto sia commutativo, per questo si definiscono le proprietà distributive a sinistra e a destra.


L'elemento neutro rispetto alla somma si indica con e si chiama zero dell'anello.


L'unità rispetto al prodotto, , cioè l'unità del monoide si dice unità dell'anello.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio (240)

, e rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.

 


Esempio (241)

Nell'insieme delle classi di resti modulo con fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la terna è un anello finito commutativo.

 
Esempio (242)

Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio , cioè l'insieme di tutte le matrici , a coefficienti nell'anello , con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se , se l'anello si identifica con . Se è finito, è finito.

 

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (243)

Sia un anello. , valgono le seguenti proprietà:

  1. Proprietà dello zero: , .
  2. Regola dei segni: Presi due elementi , allora .
  3. Multipli: multiplo di secondo .
 
Dimostrazione (Proprietà dello zero)

Prendo il quadrato di , cioè per la proprietà distributiva. Quindi . Nel gruppo additivo valgono le proprietà di cancellazione, cioè posso togliere da entrambi i membri. Quindi .

 
Dimostrazione (Regola dei segni)

E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:

cioè
cioè è l'opposto di e quindi è uguale a . Similmente si prova che è l'opposto di .

 
Dimostrazione (Multipli)

Si dimostra per induzione su se . L'asserto è vero per e quindi il multiplo è . Per si ottiene

quindi l'asserto è vero. Supponiamo vero l'asserto per e lo dimostriamo per .
Applicando la proprietà distributiva:
Per l'ipotesi induttiva posso scrivere:
Se si passa a considerare che è positivo. Per questo è vero per la dimostrazione per induzione.

 


Definizione (244 Anello banale)

Un anello con il solo zero si chiama anello banale. Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.

 


Osservazione (245)

Conseguenza della proprietà dello zero: Supponiamo , cioè l'anello è diverso dall'anello banale. L'unità e lo zero non coincidono, infatti ma per la proprietà dello zero , quindi perché ho scelto .

 
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