Generalità sugli anelli

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	Una terna costituita da un insieme non vuoto <math>A</math> su cui si definiscono due operazioni binarie <math>+,\cdot</math> si dice ''anello''		Una terna costituita da un insieme non vuoto <math>A</math> su cui si definiscono due operazioni binarie <math>+,\cdot</math> si dice ''anello''
	se sono soddisfatti i seguenti assiomi:		se sono soddisfatti i seguenti assiomi:
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	<math>(\mathbb Z ,+,\cdot)</math>, <math>(\mathbb Q ,+,\cdot)</math><math>(\mathbb R ,+,\cdot)</math> e <math>(\mathbb C ,+,\cdot)</math> rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.		<math>(\mathbb Z ,+,\cdot)</math>, <math>(\mathbb Q ,+,\cdot)</math><math>(\mathbb R ,+,\cdot)</math> e <math>(\mathbb C ,+,\cdot)</math> rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.
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	Nell'insieme delle classi di resti modulo <math>n</math><math>\mathbb Z /n\mathbb Z</math> con <math>n>1</math> fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la		Nell'insieme delle classi di resti modulo <math>n</math><math>\mathbb Z /n\mathbb Z</math> con <math>n>1</math> fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la
	terna <math>(\mathbb Z /n\mathbb Z ,+,\cdot)</math> è un anello finito commutativo.		terna <math>(\mathbb Z /n\mathbb Z ,+,\cdot)</math> è un anello finito commutativo.
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	Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio <math>M=Mat(n,A)</math>, cioè l'insieme di tutte le matrici <math>n \times n</math>, a coefficienti nell'anello <math>A</math>,		Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio <math>M=Mat(n,A)</math>, cioè l'insieme di tutte le matrici <math>n \times n</math>, a coefficienti nell'anello <math>A</math>,
	con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se <math>n>1</math>, se <math>n=1</math> l'anello si identifica con <math>A</math>.		con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se <math>n>1</math>, se <math>n=1</math> l'anello si identifica con <math>A</math>.
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	==Proprietà elementari==		==Proprietà elementari==
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	Sia <math>A</math> un anello. <math>\forall a,b \in A</math>, <math>\forall n \in \mathbb Z</math> valgono le seguenti proprietà:		Sia <math>A</math> un anello. <math>\forall a,b \in A</math>, <math>\forall n \in \mathbb Z</math> valgono le seguenti proprietà:
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	Prendo il quadrato di <math>A</math>, cioè <math>a^2 = a \cdot a = (a+0)*a = a*a+a*0</math> per la proprietà distributiva.		Prendo il quadrato di <math>A</math>, cioè <math>a^2 = a \cdot a = (a+0)*a = a*a+a*0</math> per la proprietà distributiva.
	Quindi <math>a^2 = a^2+a*0</math>.		Quindi <math>a^2 = a^2+a*0</math>.
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−	{{InizioDimostrazione|titolo=Regola dei segni}}	+	{{InizioDimostrazione|title=Regola dei segni}}
	E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:		E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:
	<math display="block">0 = a*0 = a*(b+(-b)) = a*b+a*(-b)</math>		<math display="block">0 = a*0 = a*(b+(-b)) = a*b+a*(-b)</math>
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	Si dimostra per induzione su <math>n</math> se <math>n \ge 0</math>. L'asserto è vero per <math>n=0</math> e quindi il multiplo <math>na</math> è <math>0</math>.		Si dimostra per induzione su <math>n</math> se <math>n \ge 0</math>. L'asserto è vero per <math>n=0</math> e quindi il multiplo <math>na</math> è <math>0</math>.
	Per <math>n=1</math> si ottiene		Per <math>n=1</math> si ottiene
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	Un anello con il solo zero si chiama anello banale.		Un anello con il solo zero si chiama anello banale.
	Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.		Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.
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	Conseguenza della proprietà dello zero:		Conseguenza della proprietà dello zero:
	Supponiamo <math>a \in A, a \neq 0</math>, cioè l'anello <math>A</math> è diverso dall'anello banale.		Supponiamo <math>a \in A, a \neq 0</math>, cioè l'anello <math>A</math> è diverso dall'anello banale.
	L'unità e lo zero non coincidono, infatti <math>a*1_A = a</math> ma per la proprietà dello zero <math>a*0=0</math>, quindi <math>1_A \neq 0</math> perché ho scelto <math>a \neq 0</math>.		L'unità e lo zero non coincidono, infatti <math>a*1_A = a</math> ma per la proprietà dello zero <math>a*0=0</math>, quindi <math>1_A \neq 0</math> perché ho scelto <math>a \neq 0</math>.
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Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una terna costituita da un insieme non vuoto ${\displaystyle A}$ su cui si definiscono due operazioni binarie ${\displaystyle +,\cdot }$ si dice anello se sono soddisfatti i seguenti assiomi:

1. ${\displaystyle (A,+)}$ è un gruppo abeliano;
2. ${\displaystyle (A,\cdot )}$ è un monoide, cioè un semigruppo con unità;
3. Valgono le proprietà distributive, cioè per ogni ${\displaystyle a,b,c\in A}$, ${\displaystyle a*(b+c)=ab+ac}$ e anche ${\displaystyle (a+b)*c=ac+bc}$.

Se inoltre il prodotto è commutativo, si dice che ${\displaystyle A}$ è un anello commutativo.

Nota: Non è necessario che il prodotto sia commutativo, per questo si definiscono le proprietà distributive a sinistra e a destra.

L'elemento neutro rispetto alla somma si indica con ${\displaystyle 0_{A}}$ e si chiama zero dell'anello.

L'unità rispetto al prodotto, ${\displaystyle 1_{A}}$, cioè l'unità del monoide ${\displaystyle (A,\cdot )}$ si dice unità dell'anello.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$, ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ e ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}$ rispetto alla somma e al prodotto sono anelli infiniti commutativi.

Nell'insieme delle classi di resti modulo ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle n>1}$ fissato, si possono definire la somma e il prodotto di classi. Quindi la terna ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ è un anello finito commutativo.

Ci sono anche anelli non commutativi, ad esempio ${\displaystyle M=Mat(n,A)}$, cioè l'insieme di tutte le matrici ${\displaystyle n\times n}$, a coefficienti nell'anello ${\displaystyle A}$, con le operazioni di somma e di prodotto righe per colonne. Questo anello è non commutativo se ${\displaystyle n>1}$, se ${\displaystyle n=1}$ l'anello si identifica con ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ è finito, ${\displaystyle mat(n,A)}$ è finito.

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle A}$ un anello. ${\displaystyle \forall a,b\in A}$, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ valgono le seguenti proprietà:

1. Proprietà dello zero: ${\displaystyle \forall a\in A}$, ${\displaystyle 0*a=a*0=0}$.
2. Regola dei segni: Presi due elementi ${\displaystyle a,b}$, allora ${\displaystyle (-a)*b=a*(-b)=-(ab)}$.
3. Multipli: ${\displaystyle (na)b=a(nb)=nab}$${\displaystyle na=}$ multiplo di ${\displaystyle a}$ secondo ${\displaystyle n}$.

Prendo il quadrato di ${\displaystyle A}$, cioè ${\displaystyle a^{2}=a\cdot a=(a+0)*a=a*a+a*0}$ per la proprietà distributiva. Quindi ${\displaystyle a^{2}=a^{2}+a*0}$. Nel gruppo additivo valgono le proprietà di cancellazione, cioè posso togliere ${\displaystyle a^{2}}$ da entrambi i membri. Quindi ${\displaystyle a*0=0}$.

E' una conseguenza della proprietà dello zero. Possiamo scrivere:

cioè cioè ${\displaystyle a*(-b)}$ è l'opposto di ${\displaystyle ab}$ e quindi è uguale a ${\displaystyle -ab}$. Similmente si prova che ${\displaystyle (-a)*b}$ è l'opposto di ${\displaystyle ab}$.

Si dimostra per induzione su ${\displaystyle n}$ se ${\displaystyle n\geq 0}$. L'asserto è vero per ${\displaystyle n=0}$ e quindi il multiplo ${\displaystyle na}$ è ${\displaystyle 0}$. Per ${\displaystyle n=1}$ si ottiene

quindi l'asserto è vero. Supponiamo vero l'asserto per ${\displaystyle n=k-1>0}$ e lo dimostriamo per ${\displaystyle n=k}$. Applicando la proprietà distributiva: Per l'ipotesi induttiva posso scrivere: Se ${\displaystyle n<0}$ si passa a considerare ${\displaystyle -n}$ che è positivo. Per ${\displaystyle -n}$ questo è vero per la dimostrazione per induzione.

Un anello con il solo zero si chiama anello banale. Siccome l'anello dev'essere anche un monoide, l'unità coincide con lo zero.

Conseguenza della proprietà dello zero: Supponiamo ${\displaystyle a\in A,a\neq 0}$, cioè l'anello ${\displaystyle A}$ è diverso dall'anello banale. L'unità e lo zero non coincidono, infatti ${\displaystyle a*1_{A}=a}$ ma per la proprietà dello zero ${\displaystyle a*0=0}$, quindi ${\displaystyle 1_{A}\neq 0}$ perché ho scelto ${\displaystyle a\neq 0}$.