Congruenze in un anello

Definizione

Definizione (281 Congruenza in un anello)

Una relazione di equivalenza definita sugli elementi di un anello si dice congruenza sull'anello se è compatibile sia con la somma che con il prodotto.


In altre parole, una congruenza su un anello ha le seguenti proprietà:

  1. è una congruenza sul gruppo additivo (abeliano) e ha come nucleo la classe contenente , cioè .
  2. è una congruenza sul monoide .
 


Poiché per ogni e poiché ogni elemento è associato a se stesso, cioè , segue che e , perché è compatibile rispetto al prodotto. Ma siccome , allora e . Cioè, preso un qualsiasi elemento associato a zero, allora il prodotto di con un qualsiasi elemento dell'anello è associato allo zero. In altre parole, la classe è "chiusa" rispetto al prodotto sia a sinistra che a destra per un qualsiasi elemento di .


Osservazione (282)

è completamente determinata dalla classe che si dice nucleo di .


NB: Se considero la classe che contiene un generico elemento di , essa è il laterale del nucleo che contiene questo elemento (rispetto alla somma), cioè .

 

Ideale

L'analisi delle congruenze in un anello conduce alla definizione di ideale.


Definizione (283 Ideale)

Un sottogruppo del gruppo additivo si dice rispettivamente

  1. ideale sinistro, se , ;
  2. ideale destro, se , ;
  3. ideale (bilatero), dell'anello se per ogni e per ogni , e .
 


In un anello commutativo un ideale sinistro è anche destro e quindi bilatero.


Esempio (284)

Considerando anello delle matrici quadrate con e considero l'insieme di tutte le matrici che hanno tutte le colonne nulle tranne una colonna fissata che ha elementi arbitrari: questo soottoinsieme è un sottogruppo del gruppo additivo di ed è un ideale sinistro.


Se si prende invece l'insieme che ha tutte le righe nulle tranne una riga arbitraria, si ottiene un ideale destro.

 

Relazione tra nucleo e ideale

Il nucleo di una congruenza di è un ideale, perché è un sottogruppo del gruppo additivo dell'anello, inoltre per ogni e per ogni , e stanno entrambi nel nucleo per l'osservazione precedente.


Inversamente, vale la seguente proposizione:

Proposizione (285)

Sia un ideale dell'anello , allora se considero la relazione di equivalenza definita ponendo: , essa è una congruenza in avente come nucleo l'ideale .


(Gli ideali sono tutti e soli i nuclei delle congruenze)

 
Dimostrazione

Sappiamo che rispetto alla somma è un sottogruppo normale del gruppo abeliano . Dunque è una congruenza di gruppi abeliani e ha come nucleo il sottogruppo . Resta solo da provare che è compatibile con il prodotto e quindi che è una congruenza sull'anello.


Siano e allora per come è definita esistono elementi tali che e . Segue che . I primi tre elementi sono tutti elementi di per le proprietà dell'ideale, quindi .

 


La coincide con la perché è normale.

Costruzione di ideali

Sia un anello, , e prendiamo i seguenti sottoinsiemi di :

  1. .

Entrambi gli insiemi contengono lo zero se pongo .


Nota: non è richiesto che un ideale contenga l'unità. Infatti, se un ideale contiene l'unità, allora contiene il prodotto dell'unità per gli altri elementi dell'anello, quindi coinciderebbe con l'intero anello.


Esempio (286)

Nell'insieme l'insieme dei numeri pari è un ideale ma non un sottoanello.

 


Proposizione (287)
  1. è un ideale sinistro di e è un ideale destro.
  2. Se e sono ideali sinistri o destri dell'anello contenente , allora l'ideale e .
  3. Sia un anello commutativo, allora coincide con e lo indico con (gli ideali sono bilateri).

coincide con l'intero anello se e solo se è un elemento unitario.

 
Dimostrazione
  1. Consideriamo . Mostriamo che la loro differenza sta ancora in , cioè mostriamo che è

un sottogruppo additivo di .

quindi è un sottogruppo del gruppo abeliano. Prendiamo un qualsiasi elemento di della forma , allora devo provare che sta ancora nell'insieme. Per l'associatività posso scrivere similmente per . Ho così dimostrato la chiusura rispetto al prodotto con elementi dell'anello.

  1. Se , siccome è un ideale sinistro, per ogni anche . Quindi è contenuto nell'ideale .

Similmente per .

  1. Se è uguale all'intero anello , allora l'unità appartiene a , quindi esiste

tale che , ovvero è invertibile rispetto al prodotto. Inversamente supponiamo che sia unitario. Allora posso scrivere , cioè sta nell'ideale generato da .

 


In particolare se ho un ideale di un anello ed esso contiene l'unità, allora è l'intero anello.

Ideale principale

Definizione (288 Ideale principale)

Si definisce ideale principale generato dall'elemento l'insieme ottenuto moltiplicando per ogni elemento dell'anello: l'ideale principale è il più piccolo ideale che contiene .

 

Se l'anello è commutativo, l'ideale principale generato da coincide con tutto se e solo se è unitario.


Corollario (289)

Se è un anello commutativo con , allora è un campo se e solo se non ha ideali non banali, cioè diversi dall'ideale nullo (solo zero) e l'intero.


In altre parole, i campi sono anelli che hanno solo ideali banali.

 


Dimostrazione

Questo deriva dal fatto che siccome ogni elemento è unitario, allora l'ideale coincide con l'intero anello e non esistono ideali più piccoli che contengono .

 

Ideali in un dominio

Proposizione (290)

Sia un dominio (un anello commutativo privo di divisori dello zero). Se considero due elementi , allora l'ideale principale generato da e quello generato da coincidono se e solo se differisce da per un elemento unitario, cioè se .

 
Dimostrazione

Supponiamo che i due ideali principali coincidano. Allora l'elemento sta nell'ideale generato da , quindi , ma anche appartiene all'ideale generato da , quindi si può scrivere . Segue . Se anche e in questo caso gli elementi differiscono per qualsiasi elemento unitario.


Altrimenti, se valgono le leggi di cancellazione, quindi cancellando si ottiene , cioè e sono entrambi elementi unitari. In particolare e .


Inversamente, supponiamo che con unitario. Allora (e quindi ) è contenuto in . D'altra parte, è unitario e ha inverso quindi posso scrivere e quindi . Vale la doppia inclusione e i due ideali coincidono.

 


Definizione (291 Domini a ideali principali)

Un dominio è detto a ideali principali se ogni ideale è principale.

 


Esempio (292)

Tra questi domini ci sono il dominio degli interi relativi e il dominio dei polinomi in un'indeterminata a coefficienti in un campo. C'è un parallelismo tra questi due domini (esistenza di un algoritmo per la divisione).

 
 PrecedenteSuccessivo