Lezione 9 - 1 marzo 2017 - importata

Problema della quantizzazione dell'elettrodinamica risolto nel 1949 utilizzando la Simmetria di gauge, poi generalizzata e applicata con successo a tutte le altre forze fondamentali.

Simmetria in meccanica quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Intuitivamente: una legge tale per cui le distribuzioni di probabilità per gli stati di un certo sistema rimangono invariate. Dati due stati , le probabilità sono proporzionali ai . Se abbiamo una legge che trasforma

Per conservare le probabilità abbiamo bisogno che

Sostituendo con l'operatore

Allora deve valere che

Proposizione

Le simmetrie in meccanica quantistica di un sistema fisico sono rappresentate da operatori unitari ( o anti-unitari) che commutano con l'hamiltoniana del sistema

 
Teorema

Se è una simmetria del sistema, allora il suo valore d'aspettazione è una costante del moto:

Per dimostrarlo, scriviamo il valore d'aspettazione dell'operatore , con la formula vista in meccanica quantistica:

Derivando rispetto al tempo, ricordando che l'operatore non dipende esplicitamente dal tempo:

Per le funzioni d'onda vale l'equazione di Schrodinger:

Inseriamo nella precedente equazione

 

Esistono 4 tipi principali di simmetrie, a seconda che sia di tipo:

  • esterno/interno: Il primo attributo viene dato a trasformazioni che cambiano la posizione spaziale degli oggetti, il secondo invece viene dato a quelle trasformazioni che lasciano inalterate le proprietà spaziali ma cambiano altre proprietà del sistema.
  • continuo/discreto: le prime sono quelle trasformazioni che sono descrivibili tramite parametri continui, le seconde naturalmente saranno descritte da parametri discreti.

Simmetria continua esterna[modifica | modifica wikitesto]

Queste sono trasformazioni dello spazio-tempo dipendenti da parametri reali. Alcuni esempi:

  • Traslazioni spaziali:
  • Rotazioni
  • Traslazioni temporali:

Simmetria continua interna[modifica | modifica wikitesto]

Caso famosissimo sono i cambi di fase della funzione d'onda. Data possiamo operare trasformazioni del tipo

Simmetrie discrete esterne[modifica | modifica wikitesto]

un esempio è la simmetria rispetto ad un piano:

questa in particolare è una trasformazione di parità, ma anche l'inversione temporale rientra in questo tipo.

Simmetrie discrete interne[modifica | modifica wikitesto]

Una famosa simmetria di questo tipo è la seguente: immaginiamo un sistema elettrostatico, punti materiali di carica positiva, possiamo applicare una trasformazione che mantenga inalterate le posizioni dei punti materiali, ma cambi le cariche. Una simmetria del genere prende il nome di -parità classica.

Descrizione delle simmetrie continue[modifica | modifica wikitesto]

Gli operatori che descrivono le simmetrie continue sono operatori unitari che dipendono da un numero finito di parametri reali, che sono continui e differenziabili rispetto agli stessi parametri. Generalmente possono essere scritti nella seguente forma:

ci rendiamo conto che sia una descrizione un po' grossolana: non abbiamo definito cos'è un operatore continuo in uno spazio di Hilbert, tantomeno cosa significhi la differenziabilità di un operatore in tale spazio.

Possiamo però andare a dimostrare il seguente

Teorema

Se un operatore di questo tipo è unitario, allora gli operatori sono hermitiani.

Prendendo alla lettera la definizione formale appena vista, scriviamo

Allora deve essere per forza

 

Questo teorema è importante: se abbiamo un operatore unitario, possiamo creare l'operatore hermitiano associato. Ma in meccanica quantistica gli operatori hermitiani rappresentano tutte e sole le osservabili fisiche. Inoltre vale che

Teorema

Se è una simmetria, allora ogni operatore , che è hermitiano e dunque un'osservabile, commuta con l'hamiltoniana del sistema

Dunque sono quantità fisiche conservate

 
Esempio

Traslazioni:

Sono leggi della forma

Ad un sistema fisico che richiediamo sia invariante per traslazioni spaziali associamo una simmetria , alla quale corrisponde dunque un'osservabile fisica che è conservata per il sistema. In questo caso particolare si tratta della quantità di moto. Se il sistema infatti è invariante per traslazioni deve valere che

Chiamiamo il nuovo punto e il punto di partenza. Ora riscriviamo

Quindi il generatore delle traslazioni è l'operatore , oppure nel S.I. . Questo operatore è detto quantità di moto (momento) e si indica con simbolo .

 
Questo risultato è un aspetto particolare di un teorema più generale: infatti per qualunque sistema che ammetta descrizione lagrangiana la quantità di moto è una costante del moto. Inoltre, per qualunque teoria fisica che ammette descrizione lagrangiana, se un sistema è invariante per rotazioni allora si conserva anche il momento angolare (che discende direttamente dalla definizione di momento angolare).

Generatore delle traslazioni temporali[modifica | modifica wikitesto]

Questo significa che i generatori delle traslazioni temporali sono proprio le hamiltoniane dei sistemi, che ovviamente commutano con loro stesse.

Questo teorema è un po' tautologico: sia nel caso della meccanica lagrangiana che hamiltoniana, quando diciamo che il sistema ammette descrizione hamiltoniana o lagrangiana implicitamente ammettiamo che l'hamiltoniana o la lagrangiana del sistema non dipendano dal tempo esplicitamente: non stiamo dunque considerando forze non conservative.

Simmetrie di Gauge[modifica | modifica wikitesto]

Caso 1[modifica | modifica wikitesto]

Meccanica quantistica non relativistica: facciamo trasformazioni del tipo

Sappiamo che in meccanica quantistica queste trasformazioni non cambiano le osservabili fisiche del sistema, nè i loro valori di aspettazione.

Questo tipo di simmetria è detto simmetria globale. Infatti la fase è definita una volta per tutte per tutti gli osservatori dello spazio-tempo. Possiamo però imporre una condizione più restrittiva, di simmetria locale, che dipenda dalla posizione e dal tempo.

Definizione

Un sistema fisico in meccanica quantistica con simmetria globale è detto possedere una simmetria di gauge se la sua lagrangiana è invariante per la trasformazione locale di .

Le teorie che rientrano in questa categoria sono dette teorie di gauge.

 

Nel caso specifico dell'elettromagnetismo siamo interessati a trasformare

Tale simmetria prende il nome di simmetria locale , cioè il gruppo delle matrici di ordine 1 con determinante 1. Sono in sostanza delle simmetrie di fase.

Consideriamo ora l'hamiltoniana di una particella libera , che si muove all'interno di un campo elettromagnetico classico a cui possiamo associare dei potenziali .

Le relazioni che intercorrono tra i campi e i loro potenziali sono date dalle equazioni di Maxwell

Supponiamo di trasformare i potenziali tramite

Sostituiamo nelle equazioni di Maxwell

da cui discende che

Cioè è irrotazionale, dunque esiste tale che .

Per il campo elettrico invece possiamo scrivere

da cui

e infine

Naturalmente una funzione che abbia gradiente costante per ogni valore della posizione è costante rispetto alla posizione, dunque può dipendere al più dal tempo.

Abbiamo dunque

Ridefiniamo

Da questo discende

Possiamo sostituire nei potenziali ottenendo

Queste trasformazioni conservano invariati i campi elettromagnetici ( in trattazione classica ) e sono dette appunto trasformazioni classiche di gauge. Il nome è dovuto al fatto che permettono di "ricalibrare" i potenziali scalare e vettore con funzioni arbitrarie (dall'inglese gauge = calibro).

Tornando al problema, noi vogliamo costruire l'hamiltoniana in maniera tale che la funzione d'onda sia simultaneamente insensibile a variazioni di fase e a trasformazioni di gauge.

Qual è l'operatore che genera queste trasformazioni?

Cioè utilizzando la notazione usata precedentemente abbiamo preso e e il generatore è solo .

Proviamo a richiedere che la funzione d'onda rimanga la stessa: se è soluzione dell'equazione di Schrodinger, allora anche la funzione d'onda che ha subito la trasformazione dovrà esserlo.

l'ultima eguaglianza vale perchè ci siamo spostati in unità naturali.

Calcoliamo

Ancora usiamo l'equazione di Schrodinger per sostituire

In generale , ma noi comunque studieremo solo forze conservative. Siccome c'è una dipendenza temporale negli operatori, derivare rispetto al tempo porta dei nuovi termini, che non conserverebbero l'equazione di Schrodinger. Per farlo dovremo ridefinire l'hamiltoniana tramite

nel caso specifico in esame l'hamiltoniana è una funzione di quattro termini

Il momento si trasformerà come

I potenziali scalare e vettore abbiamo visto prima come si trasformano.

A questo punto si può dimostrare che la più semplice hamiltoniana (ovvero il polinomio di grado più basso in che soddisfa la relazione che ci dà la nuova hamiltoniana scritto prima è la seguente:

Scritta in maniera più compatta

Questa hamiltoniana soddisfa simultaneamente le trasformazioni di gauge e l'equazione di Schrodinger. Si chiama Hamiltoniana semi-classica o di prima quantizzazione. Il parametro che è un parametro reale è detto carica elettrica.

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