Lezione 8 - 28 febbraio 2017 - importata

A partire dalla scoperta del positrone, si ricercarono ulteriori anti-particelle. Per particelle cariche, quali muone e protone, l'esistenza delle loro antiparticelle venne provata sperimentalmente, in alcuni casi da Anderson stesso. A livello teorico, si introdusse un operatore, detto C-parità, che applicato ad una particella carica in un certo stato di momento e di spin restituisce una particella nello stesso stato, ma con carica opposta:

Diverso il discorso per le particelle neutre. Infatti esistono due casi:

  1. L'antiparticella di una particella con carica neutra è un'altra particella, distinta dalla prima, sempre con carica neutra
  2. L'antiparticella di una particella con carica neutra coincide con la particella stessa.

Effettivamente in natura entrambi i casi esistono. Ad esempio il neutrone ha un antiparticella, l'antineutrone, scoperta nel 1956. Al fine di distinguere le due si usano i fenomeni di decadimento associati:

Il pione invece non si trasforma in un oggetto diverso all'applicazione della C-parità, al più può variare per una fase:

Dunque pione ed antipione coincidono nella stessa particella. Similmente accade per il fotone.

Un caso degno di nota è quello del neutrino. Infatti non siamo ancora capaci di capire quali effetti abbia l'operatore di C-parità su tale particella: l'antineutrino potrebbe coincidere o meno con il neutrino stesso.

La prova sperimentale dell'esistenza delle antiparticelle portò subito a porsi delle domande sul perchè. La soluzione è stata data nel 1954 da Pauli con il seguente

Teorema (di Pauli-Ruthers)

Se prendiamo gli assiomi della relatività ristretta, cioè se lavoriamo con formule covarianti a vista, e includiamo la meccanica quantistica, richiedendo che la carica elettrica sia un invariante di Lorentz e che l'hamiltoniana abbia autovalori con un valore minimo finito (ground state), allora segue che nell'Hamiltoniana, se abbiamo una particella di massa m e carica elettrica q, necessariamente può esserci una particella con ugual massa ma carica elettrica opposta. In particolare .

 
Proposizione

Tipicamente un fotone se ha energia sufficientemente grande decade in una coppia elettrone-positrone. Mostriamo che questo processo non può avvenire nel vuoto. Ciò ha un grosso interesse pratico: la luce emessa dalle stelle attraversa spazi molto grandi e questo teorema impedisce al fotone di decadere finchè non raggiungano zone con densità di materia sufficiente.

Dimostriamo per assurdo: ci poniamo nel sistema del laboratorio in 2-D come in figura:

I quadrimomenti delle tre particelle in gioco saranno

Scriviamo adesso le regole per la conservazione del quadrimomento:

Infine possiamo scrivere la legge di conservazione dell'energia

quest'equazione è assurda, non può essere mai soddisfatta: la prima quantità è strettamente maggiore di , la seconda è strettamente maggiore di , l'uguaglianza non si verifica.

 

Interazione fotone-materia[modifica | modifica wikitesto]

Effetto Fotoelettrico[modifica | modifica wikitesto]

Si parla di effetto fotoelettrico in tutti i casi in cui un fotone, arrivando su qualunque atomo, viene interamente assorbito e la sua energia viene completamente scaricata sull'elettrone (più una piccola energia di rinculo trascurabile). A questo punto l'energia dell'elettrone sarà data da

dove è l'energia di legame dell'elettrone con l'atomo.

Andando a vedere la sezione d'urto dell'effetto fotoelettrico ci accorgiamo che decresce rapidamente in funzione dell'energia. Si ha che per alte energia è legata all'energia da un andamento . I valori energetici per cui l'effetto fotoelettrico domina le interazioni fotone-materia sono compresi tra i e i .

Effetto Compton[modifica | modifica wikitesto]

Un fotone arriva in un mezzo materiale, urta contro un elettrone, il quale viene sbalzato fuori. Il fotone viene deviato dall'elettrone. Generalmente la relazione che intercorre tra frequenza iniziale e finale

dove è l'angolo di scattering. Importante perchè nega direttamente le equazioni di Maxwell. A energie superiori a non sono più trascurabili gli effetti quantistici. fenomeno dominante tra . In unità naturali

e l'energia cinetica dell'elettrone

Purtroppo nel mondo reale se l'effetto compton domina da fastidio perchè non siamo in grado di rivelare l'angolo di scattering, quindi di solito si integra su tutti gli elettroni e tuti i possibili angoli. Si otiene quindi un valore massimo per l'energia cinetica che avviene per :

Distribuzione degli eventi di un fascio di fotoni all'interno di un rivelatore[modifica | modifica wikitesto]

Il rivelatore ci darà informazioni sulle energie degli elettroni emessi per effetto fotoelettrico o compton.

disegno 3

Come si vede dal disegno abbiamo due distribuzioni di eventi distinte. Quella del photopeak rappresenta il caso migliore: il fotone viene completamente assorbito per effetto fotoelettrico, l'elettrone perde energia all'interno del rivelatore per Bethe-Bloch. Vediamo il picco grande all'energia corrispondente all'energia del fotone entrante. Per questo è più bello avere l'effetto fotoelettrico dominante: ci darà direttamente l'informazione sull'energia del fotone.

Produzione di coppie[modifica | modifica wikitesto]

Un fotone nel mezzo materiale produce una coppia. il fenomeno abbiamo visto che non si verifica nel vuoto. Supponiamo di avere una particella, ad esempio un nucleo o un elettrone. Qual è l'energia minima che deve avere un fotone affinchè possa convertirsi in una coppia elettrone-positrone?

Intuitivamente diremmo che è la somma delle masse dell'elettrone e del positrone. Non è sempre vero però, andiamo dunque a calcolarla.

La configurazione ad energia minima è quella per cui nel rest frame tutte le particelle del sistema sono a riposo. Vediamo un trucco per risolvere questo problema apparentemente difficile:

Calcoliamo la massa invariante S del sistema

Il trucco sta nel calcolare la massa invariante prima della produzione della coppia nel sistema di riferimento del laboratorio , perchè in questo sistema abbiamo un fotone che viaggia a velocità ed un'altra particella a riposo.

Lo stato finale invece lo calcoliamo nel sistema di riferimento del rest frame, in cui tutte le particelle sono a riposo.

elettrone
positrone
particella

Ora imponiamo la conservazione : nello stato iniziale , mentre in quello finale . Dunque possiamo scrivere

Confrontando questo risultato con l'ipotesi iniziale, cioè che l'energia minima fosse la somma delle masse elettrone-positrone, osserviamo che coincidono solo nel caso speficico in cui la massa dell'oggetto contro cui impatta il fotone sia molto più grande della massa dell'elettrone.

Annichilazione materia antimateria[modifica | modifica wikitesto]

immaginiamo di avere un positrone, che entra in un rivelatore. perderà energia come abbiamo già visto, fino a fermarsi. Il processo di perdita d'energia e d'arresto si chiama Termalizzazione. Questo processo è uguale a quello dell'elettrone, avviene cioè per Bethe-Bloch e radiazione. Quando si ferma c'è una probabilità non nulla che il positrone si leghi con uno degli elettroni del dielettrico, formando una particella detta positronio. Questa può poi decadere in due fotoni, lungo la stessa direzione e in verso opposto, di energia esattamente . Dunque avremo due casi:

Se il fotone viene assorbito vedremo il grafico del photopeak.

Se il fotone crea una coppia elettrone-positrone, il primo perde energia per bethe-bloch e radiazione, il positrone ugualmente. Ma può formare un positronio che decadrà in due fotoni. A loro volta i due fotoni potrebbero creare elettroni per effetto fotoelettrico, oppure scappare via o eventualmente interagire con le pareti del rivelatore per effetto compton. quello che si vede è

disegno 4

La sovrapposizione con l'effetto compton, sempre presente, crea il grafico visto in figura . Avendo picchi a valori di energia molto precisi siamo capaci di creare rivelatori a bassa dispersione.

Sciame elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Se abbiamo un fotone molto più energetico, ad esempio , andrà a sbattere contro il rivelatore. Produce una coppia elettrorne-positrone, ognuno con circa . L'elettrone perderà energia per Bethe-Bloch (a questi valori trascurabile) e per radiazione: tirerà fuori lui stesso un fotone che avrà in media un'energia di . Stessa cosa per il positrone. Un fotone da creerà un'altra coppia e la cosa procede indefinitamente. Nel gergo una serie di decadimenti simili si dice Sciame Elettromagnetico (electromagnetic shower).

Quando cessa lo sciame? Il buonsenso suggerirebbe che quando l'energia diventerà molto piccola domineranno gli effetti descritti in precedenza.

Proposizione (Regola empirica di Rossi)

Per descrivere l'andamento dello sciame esiste una regola empirica proposta da Rossi:

A energie elevate, tipicamente superiori ai , in media un elettrone (positrone) emette un fotone ogni lunghezza di radiazione ; l'energia rimanente è circa la metà di quella iniziale. Analogamente un fotone emette una coppia elettrone-positrone ogni della lunghezza di radiazione (pair production length) , l'energia viene equamente distribuita sulle due particelle.

 

Se indichiamo con il numero di lunghezze di radiazione attraversate dallo sciame, avremo che il numero totale di particelle prodotte è . L'energia della singola particella sarà .

Quando si spegne lo sciame? quando l'energia delle singole particelle diventa confrontabile con l'energia critica del sistema.

Dunque per uno sciamo elettromagnetico il numero massimo di lunghezze di radiazione attraversate

Questo risultato è di grande importanza pratica: immaginiamo di dover costruire un rivelatore che fermi degli elettroni. Se la penetrazione delle particelle fosse lineare rispetto all'energia dovremmo costruire rivelatori grandissimi. Per fortuna è logaritmica.

Calorimetri[modifica | modifica wikitesto]

I rivelatori che misurano la penetrazione degli sciami elettromagnetici sono noti con il nome di calorimetri elettromagnetici. Solitamente sono oggetti molto densi che riescono a registrare tutta l'energia depositata per Bethe-Bloch e radiazione dalle particelle cariche. Il nome è stato assegnato in analogia con i calorimetri termodinamici: infatti entrambe le tipologie di dispositivi effettuano misure completamente distruttive.

Ricordiamo brevemente un'altra tipologia diffusa di calorimetri: i calorimetri a campionamento. In questi apparati lastre di ferro o piombo vengono alternate da rivelatori di particelle; l'energia dello sciame viene quindi valutata solo nelle zone comprese tra una lastra e l'altra, dunque viene campionata a frazioni fisse dell'energia totale depositata.

Il più semplice sistema di assiomi che genera l'elettrodinamica[modifica | modifica wikitesto]

  1. Le leggi fisiche sono invarianti in forma.
  2. La velocità della luce è pari a c in ogni sistema inerziale
  3. Per ogni punto materiale posso associare un numero che prende il nome di carica elettrica. Questa carica elettrica è invariante di Lorentz.
  4. Se ho due punti materiali in quiete, la forza tra questi due punti , nel sistema internazionale , si scrive

Come si fa a verificarlo? prendiamo un punto materiale e ci mettiamo nel suo rest frame. In quel caso l'assioma 4 ci dà la forma analitica della forza. Poi ci iniziamo a muovere: applichiamo una trasformazione di Lorentz al nostro sistema a riposo. La carica in quiete diventa una corrente. Applicando le trasformazioni di Lorenz alla forma della forza scritta nell'assioma 4 ci accorgiamo che una ha componente che dipende dalla velocità, una no.

Il termine che non dipende dalla velocità lo chiamiamo campo elettrico, il termine che dipende dalla velocità lo chiamiamo campo magnetico. Imponiamo la covarianza a vista e troviamo le equazioni di Maxwell.

Se volessimo bypassarle, prendiamo una serie di punti materiali tutti allineati e carichi. All'inizio in quiete rispetto a questo sistema, poi iniziamo a muoverci rispeto a questi punti. Diventano un filo percorso da corrente. fare una trasformazione di Lorentz di questa forza ci fa arrivare alla legge di Biot-Savart

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