Lezione 6 - 22 febbraio 2017 - importata

Particelle cariche pesanti[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (Particella carica pesante)
Con questo nome si intende qualunque particella carica che abbia una massa molto maggiore di quella dell'elettrone, ossia
Un esempio è il protone.
 
Quando una particella del genere incide su un mezzo materiale macroscopico, può dar luogo sostanzialmente a due tipi di urti:
  1. La particella colpisce uno degli elettroni del materiale macroscopico. La particella è molto più pesante, quindi fa schizzare via l'elettrone;
  2. La particella colpisce uno dei nuclei, stavolta rimbalza la particella e il nucleo sta fermo, cambiando la traiettoria della particella incidente

Dunque ai fini della perdita di energia la presenza dei nuclei è irrilevante. Attraversando la materia la particella carica interagisce contemporaneamente con un gran numero di elettroni atomici, i quali risentono del campo da essa prodotto e possono venire eccitati o rimossi dall'atomo (ionizzazione) a seconda dell'intensità dell'interazione. Poichè la particella è molto più pesante dell'elettrone con cui interagisce, ciascuna interazione le sottrae solo una piccola frazione della sua energia totale. Il risultato dell'attraversamento della materia è dunque una progressiva perdita di energia da parte del fascio, trasferita agli elettroni del mezzo. La particella subisce un rallentamento continuo, fino eventualmente ad arrestarsi, lasciandosi dietro una scia di coppie elettroni-ioni, le quali costituiscono una carica e sono quindi quantità misurabili, adatte a rivelare la particella e a misurare le sue proprietà, ad esempio l'energia.

La quantità di energia persa dalla particella per ionizzazione dipende da diversi fattori e viene quantificata dal potere frenante.
Definizione (potere frenante)

Il potere frenante per una particella carica in un determinato mezzo assorbente è la quantità

che rappresenta la perdita di energia per unità di lunghezza.

 
 
Chiaramente, più elettroni ci sono più energia perde la particella, con dipendenza lineare. Per questo motivo è conveniente dal punto di vista pratico definire la cosiddetta mass thickness che è il percorso fatto dalla particella moltiplicata per la densità del mezzo materiale, esprimendo così la perdita di energia come con unità di misura Noto possiamo definire e valutare la seguente quantità
Definizione
Si definisce range di una particella in un dato materiale assorbente la massima distanza che può percorrere prima di depositare tutta la sua energia:
Il lettore non si spaventi per gli indici primati: servono come promemoria per evitare di compiere errori grossolani del tipo:
 
Osservazione

il range è una misura dell'energia della particella, ed è una quantità misurabile sperimentalmente

 


Perdita d'energia secondo Fermi[modifica | modifica wikitesto]

Fermi arrivò ad una formula per la perdita d'energia di una particella carica pesante che attraversa un materiale macroscopico servendosi di tre approssimazioni:

  1. , già presa in ipotesi;
  2. Gli scambi energetici che avvengono negli urti tra particella ed elettroni atomici siano molto minori della massa degli elettroni stessi. In questo modo l'urto può essere trattato non relativisticamente.
  3. Gli elettroni del mezzo materiale siano in quiete e liberi per l'intera durata delle interazioni. Questa assunzione implica che la particella pesante scarichi una parte della propria energia sull'elettrone e solo dopo l'urto questo "si accorga" di avere una certa quantità di moto e quindi parta. In realtà il trasferimento d'energia avviene durante tutta la durata dell'urto, non è istantaneo. Stiamo invece riconducendo il problema ad un problema di elettrostatica.

Riassumiamo con un disegno dunque il moto della particella che si avvicina ad un elettrone atomico:

Nuc lez6 1.png

Ad ogni istante temporale, la particella risentirà di una forza d'attrazione coulombiana verso l'elettrone. Dal disegno si evince che le componenti parallele al moto di tale forza si compensano attorno all'asse , quindi le uniche componenti che influiranno sul moto saranno quelle perpendicolari. Calcoliamo l'impulso di queste forze

Chiaramente sarà anch'esso perpendicolare al moto. Per un punto materiale l'impulso è la variazione della quantità di moto
Stiamo assumendo che l'elettrone sia in quiete, quindi all'inizio non ha quantità di moto
Come calcoliamo il campo elettrico ortogonale? Possiamo usare il teorema di Gauss. Calcolando il flusso di campo elettrico attraverso la superficie del cilindro che ha come raggio di base il parametro d'impatto
da cui
allora l'impulso
Che relazione intercorre tra impulso, quantità di moto e variazione d'energia cinetica che acquisisce l'elettrone a causa del passaggio della particella?
Questo calcolo vale nel caso di un'interazione con un singolo elettrone. Vediamo ora di estendere il risultato a tutti gli elettroni del mezzo.

Estensione a più elettroni[modifica | modifica wikitesto]

Se consideriamo il cilindro con raggio di base il parametro d'impatto e con altezza data dallo spostamento infinitesimo della particella, allora possiamo scrivere l'infinitesima perdita d'energia della particella lungo quello spostamento tramite

con numero di elettroni atomici per unità di volume. Nel caso di uno strato monoatomico di un certo materiale vale
Dove è il numero di Avogadro, mentre è il peso atomico dell'elemento costituente il materiale. Sostituendo con il valore dello scambio energetico con un singolo elettrone appena trovato otteniamo
Possiamo dunque integrare su tutti i parametri d'impatto nel modo seguente
Ottenendo quindi una formula per la perdita d'energia per unità di distanza in funzione del parametro d'impatto
Seppur a rigor di logica bisognerebbe considerare e , inserendo tali valori nella legge di sopra otterremmo un valore divergente per la perdita d'energia.

Ricerca degli estremi per il parametro d'impatto[modifica | modifica wikitesto]

Considerare ci porta in contraddizione con le ipotesi iniziali. Abbiamo supposto che l'urto non fosse relativistico, ma con parametro d'impatto nullo la particella entra in collisione head-on sull'elettrone; avendo una massa molto maggiore trasferirà una quantità di moto che risulterà ben più che sufficiente per far raggiungere velocità relativistiche all'elettrone.

Cerchiamo dunque il valore giusto da assegnare al minimo parametro d'impatto. Negli urti classici tra un punto materiale molto massivo e uno leggero, l'energia massima trasferibile d'urante l'urto è quella tale da creare una differenza di quantità di moto doppia rispetto a quella iniziale:

In meccanica relativistica tale energia assume la forma
Vogliamo dunque che sussista la relazione
Sostituendo con la legge trovata in precedenza
e infine
Considerare ci porta a considerare interazioni coulombiane che avvengono a grandi distanze e sappiamo che queste tendono a zero. Inoltre, considerando tempi sufficientemente lunghi, l'elettrone non può più essere considerato in quiete, ma verrà visto ruotare attorno al proprio nucleo dalla particella che passa. Si può dimostrare che a partire dalla prima rotazione completa lo scambio d'energia complessivo sarà nullo perchè progressivamente l'attrazione coulombiana spazzerà tutti i valori corrispondenti alle distanze elettrone-particella. Siccome l'elettrone sta ruotando, per ogni valore della forza ne corrisponderà uno uguale e contrario. Vogliamo dunque considerare al massimo un parametro d'impatto che corrisponde al tempo in cui un elettrone compie un giro attorno al proprio nucleo. Potremo dunque scrivere una formula del tipo
dove è il tempo medio di un'oscillazione attorno al nucleo dell'elettrone.

Formula classica di Bohr[modifica | modifica wikitesto]

Siamo dunque capaci ora di scrivere una legge per la perdita d'energia che non dipenda più esplicitamente dal parametro d'impatto

dove è la frequenza media di oscillazione attorno al nucleo. Questa formula è nota come formula classica di Bohr

Bethe-Bloch[modifica | modifica wikitesto]

L'espressione completa del potere frenante (medio) è data dalla formula di Bethe-Bloch:

Nella formula sono presenti diverse quantità degne di nota:

  • Il coefficiente iniziale viene spesso ricordato solo con il suo valore numerico, per comodità
  • è la densità elettronica del mezzo.
  • è la carica totale delle particelle che attraversano il fascio.
  • è la velocità relativistica del fascio incidente.
  • è la massima energia trasferibile ad un singolo elettrone in un singolo urto. Nel nostro caso considerato prima abbiamo visto essere .
  • è l'energia potenziale media di ionizzazione del mezzo.

Alcune considerazioni:

  1. Le unità in cui si ottiene la perdita di energia sono ; togliendo il parametro densità dalla formula (ossia esprimendo la quantità si ottiene invece una perdita di energia misurata in e si ha il vantaggio che il valore di dipende poco dal materiale attraversato: il parametro , infatti, è circa per tutti i materiali (salvo l'idrogeno).
  2. Il fattore correttivo serve per compensare la risalita relativistica ( relativistic rise ) . Per piccoli valori di , , poi passa per un minimo e risalirebbe in maniera logaritmica quando , a causa dell'incremento della componente ortogonale al moto del campo elettrico nel sistema del laboratorio, , di un fattore . Tuttavia la densità del mezzo riduce sensibilmente (per effetti di schermatura) la risalita relativistica a grandi valori di , e questo effetto è tanto maggiore quanto più denso è il mezzo.
  3. il che corrisponde al minimo dipende debolmente dai diversi materiali tramite ; per elementi non eccessivamente leggeri varia da 3.5 a 3 passando da a . La perdita di energia al minimo vale ; le particelle al minimo di ionizzazione sono dette,in inglese,minimum ionizing particles, o semplicemente MIP. I muoni cosmici sono un esempio di MIP.
  4. il fattore di shell correction tiene conto degli effetti che si manifestano quando la velocità della particella è confrontabile o piccola rispetto alla velocità orbitale degli elettroni.

Bethe.gif

Poichè , al diminuire della velocità diventa sempre più piccolo di 1 e il potere frenante aumenta: il minimo potere frenante si ha quando la velocità della particella è maggiore, ossia all'inizio del percorso. Iniziando a perdere energia nel mezzo essa rallenta e il potere frenante aumenta: plottando in funzione della distanza di penetrazione , si ottiene la curva mostrata in figura (curva di Bragg). Il picco di Bragg corrisponde alla regione ove la particella deposita la maggior parte della sua energia, in quanto meno veloce che nel tratto iniziale.

Bragg Curve for Alphas in Air.png

Vediamo le principali tipologie di rivelatori di particelle.

Ionizzazione: le particelle vengono fatte passare attraverso un gas. Tipicamente un gas nobile. Nel caso dell'argon il passaggio della particella ionizza il gas e si va a osservare la coppia ione-elettrone proporzionala all'energia ricevuta dalla particella.

Caso dell'atomo di idrogeno: qul è l'energia per ionizzare l'idrogeno? è quella di prima ionizzazione famosa 13.6 eV. Nel caso dell'Argon l'energia di prima ionizzazione è di circa 16 eV, tuttavia l'energia media di produzione di una coppia ione-elettrone è in realtà di 25 eV. Se vogliamo produrre queste coppie dobbiamo mettere un po' più di energia rispetto a quella di prima ionizzazione. Questo perchè una parte dell'energia va sprecata per eccitazione atomica. Se abbiamo ad esempio un fascio di 250 eV otterremo circa 10 coppie

Semiconduttori: Utilizza la coppia elettrone-lacuna per rivelare il passaggio della particella. L'energia media della formazione di una coppia è dell'ordine di un paio di elettronvolt, dieci volte più piccola di quella necessaria in un rivelatore a ionizzazione.

Bolometro: Il discorso può essere estremizzato e calcolare l'energia tipica di produzione di un fonone , questa energia è dell'ordine del micro elettrronvolt, quindi più facile da raggiungere. Qui si va a valutare la variazione di temperatura del solido su cui inviamo il fascio

Scintillazione: Semiconduttori che hanno le bande o livelli energetici compresi tra la banda di valrenza e quella di conduzione. Il passaggio della particella eccita un elettrone di valenza che passa alla banda prima di quella di conduzione. L'elettrone poi si diseccita e torna alla banda di valenza, emettendo un fotone. Solitamente i fotoni sono compresi tra il blu-viola e il vicino ultravioletto.

Camera a ionizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una camera a ionizzazione è un circuito fatto come in figura

Le particelle passano nella prima capacità. è la distanza tra il fascio e l'armatura positiva, è la distanza tra le armature. Quando passa la particella si creano coppie ione-elettrone. Vogliamo calcolare il segnale prodotto sulla resistenza di carico

Per farlo ci poniamo nella condizione , in modo che il suo tempo di scarica sia molto maggiore rispetto al tempo di arrivo degli elettroni e degli ioni sulle armature. In sostanza, vogliamo che l'alimentatore entri in funzione solo quando le coppie sono già arrivate sulle armature. Se avessimo l'alimentatore entrerebbe subito in funzione, instaurando istantaneamente una differenza di potenziale sulle armature del condensatore che andrebbe a compensare la creazione di queste coppie.

Ci proponiamo di calcolare la tensione sulla resistenza di carico in funzione del tempo. A tale scopo si utilizza il principio di conservazione dell'energia in un sistema elettrostatico: le cariche prodotte dal passaggio della particelle saranno , in base all'energia del fascio.

Ricordiamo che l'energia elettrostatica di un condensatore piano è data dalla formula , mentre il campo elettrico tra le armature del condensatore è . L'energia acquisita da una carica al passaggio tra le armature del condensatore è data dalla forza del campo elettrico del condensatore moltiplicata per lo spostamento: . Nel caso dell'elettrone la formula si scriverà , nel caso dello ione sarà .

Applichiamo adesso il principio di conservazione dell'energia:

Qui è evidente il perchè della scelta : così è come se il sistema fosse isolato.
chiamiamo e facciamo l'assunzione cioè che le cariche prodotte dal passagio della particella siano molto meno di quelle che c'erano già nel condensatore.
sostituendo
Sostanzialmente quello che si vede nell'oscilloscopio sarà una differenza di potenziale che cresce col tempo. Cosa succede quando tutti gli elettroni hanno raggiunto l'armatura del condensatore? A quel punto spariscono dal contributo del potenziale. Quando succede questa cosa? quando il tempo è uguale alla distanza in cui è stata prodotta la particella diviso la velocità di migrazione degli elettroni

allora tutti gli elettroni hanno raggiunto l'anodo e non contribuiscono al segnale elettrico. La differenza di potenziale dovuta agli elettroni raggiunge un valore massimo pari

ed è costante per . Ovviamente rimangono ancora gli ioni, arriveranno all'istante e per si avrà

Conclusione:[modifica | modifica wikitesto]

Per tempi maggiori del tempo che impiegano elettroni e ioni a raggiungere le armature del condensatore, la differenza di potenziale ai capi della resistenza ha un valore costante

che non è altro che la ddp prodotta da un condensatore se ci mettessimo solo le cariche prodotte dalla particella. Il grafico di V_R nel tempo è

INSERIRE DISEGNO 6

E questo vale solo se . Bisogna poi aggiungere l'esponenziale del condensatore che ripristini una ddp nulla per tempi maggiori.

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