Lezione 4 - 20 febbraio 2017 - importata

Definizione (Ampiezza di Decadimento)
Sia dato un fenomeno di decadimento da uno stato ad uno stato , la probabilità per unità di tempo che il fenomeno accada viene chiamata ampiezza di decadimento e si indica con simbolo
 
Definizione (vita media (lifetime))

Indica la sopravvivenza della particella prima che decada esponenzialmente.

 
I decadimenti non sono fenomeni univoci: esistono cioè diversi modi di decadere di una stessa particella, che possono avvenire con diversa probabilità. Un esempio è il , che presenta tre canali di decadimento :
Il rate di transizione (probabilità per unità di tempo) è dato dalla "Relativistic Golden Rule" :[1]
Osservazione

Poichè il rate di transizione è una probabilità per unità di tempo e gli osservatori non concordano sull'unità di tempo, non è Lorentz invariante. Qual è il termine non invariante? Poichè i termini 2,3 sono invarianti per quanto riportato nella nota e il quarto termine è una , che è invariante, la non invarianza sta in 1, ossia nell'energia

 
Definizione (larghezza parziale (decay fraction))

Si tratta del rate di transizione di un dato canale di decadimento

Per l'esempio del pione si avrebbero quindi tre larghezze parziali,

 
Definizione (larghezza totale (full width))

Si tratta della somma delle larghezze parziali, esprime quindi il rate di decadimento in generale, senza interessarsi al canale di decadimento

 


Osservazione

Al pari di , non è Lorentz invariante. É consuetudine esprimere le vite medie delle particelle nel loro rest-frame

 
Definizione (frazione di decadimento (branching ratio))

Esprime il rapporto tra la larghezza parziale relativa a un canale di decadimento e la larghezza totale.

Nell'esempio del pione le larghezze di decadimento sono le seguenti:

 
Osservazione
Facciamo notare che vale la seguente catena di relazioni:
Cioè data una particella con più di un modo di decadimento, la sua vita media è data dall'inverso della larghezza totale, non dalla somma delle singole vite medie di ogni canale di decadimento
 

Legge di decadimento[modifica | modifica wikitesto]

Date particelle instabili e nota la relativa al processo di decadimento, si ha

da cui si ricava la legge di decadimento

Trucco per capire se un decadimento può avvenire o meno[modifica | modifica wikitesto]

  1. Considerare lo spazio fasi, ovvero la differenza di massa tra lo stato iniziale e lo stato finale). Spazi fasi grandi corrispondono a grandi ampiezze (Gamma) e dunque a piccole vite medie (tau)
  2. Considerare le interazioni che causano il decadimento. Se l'interazioni sono gravitazionali, generalmente la tipica vita media è infinita (il decadimento non è osservabile), se sono deboli la vita media tipica è compresa tra . Se è elettromagnetica è compresa tra , se è forte la vita media . Sempre a grandi linee tutto quanto ci sono eccezioni
  3. Controllare che per le interazioni corrispondenti non siano violate specifiche leggi di conservazione.

esempio:

 ? non si conserva la carica elettrica

? non si può conservare il quadrimomento ( in particolare bisognerebbe avere masse uguali in questo caso)

 ? anche qua no per conservazione carica

? non si conserva il flavor leptonico (vedremo cos'è ma in sostanza non si possono produrre leptoni dal nulla senza le loro antiparticelle), ma c'è un motivo più banale: il principio di conservazione del momento angolare. Il pione ha spin 0, mentre l'elettrone ha spin 1/2 e il fotone ha spin 1.

può avvenire con un BR basso come già visto. Se volessimo confrontare il BR di questo decadimento con quello di quest'altro quale sarebbe più alto? Quale tra i due decadimenti ha lo spazio fase più grande? il primo perchè la massa del pione è 136 GeV mentre l'elettrone è 0.5 MeV , mentre nel secondo il muone ha 106 GeV. Avendo il primo uno spazio fase più grande del secondo, a buonsenso ci si aspetta che il BR del primo fosse più grande del secondo, ma in realtà non è così perchè in questo caso il primo decadimento viola la conservazione della chiralità.

  1. La regola d'oro di Fermi in meccanica quantistica non relativistica esprime la probabilità per unità di tempo di transizione dallo stato allo stato sotto l'effetto della perturbazione come (NU):
    Cosa dobbiamo modificare per ottenere un'espressione valida relativisticamente?
    • le probabilità vengono espresse come integrali sul volume di . I volumi tuttavia non sono invarianti di Lorentz, ma trasformano secondo . Possiamo quindi pensare che la densità di probabilità trasformi come . Approfittando del fatto che l'energia trasforma come , definiamo una nuova densità di probabilità:
      Da questo segue che
    • La densità di stati nello spazio delle fasi per unità di volume può essere espressa come per ogni particella . In analogia con quanto visto nel punto precedente
      Se nello stato finale sono presenti n particelle, il volume nello spazio delle fasi, ossia , è (NU)

Visione non relativistica dei fenomeni di decadimento[modifica | modifica wikitesto]

La teoria della meccanica quantistica non relativistica non descrive fenomeni come quello del decadimento, in cui una certa particella ad un tempo non esiste più, o in cui due particelle si uniscono per crearne altre. Per gestire matematicamente questo tipo di fenomeni, si operarono alcune modifiche al modello quantistico non relativistico, in sostanza imponendo " a mano" il decadimento alla Rutherford.

Immaginiamo di avere risolto l'equazione di Schrodinger stazionaria per il moto di una particella. Se al tempo la funzione d'onda della particella è rappresentata con , al tempo essa sarà della forma

Applichiamo a questa funzione d'onda un termine di decadimento esponenziale, che la faccia azzerare per tempi lunghi:
Dunque la densità di probabilità di trovare la particella in una zona compresa tra e sarà:
Applicare il termine di decadimento implica un prezzo da pagare: l'energia di uno stato stazionario può essere misurata con una precisione arbitrariamente grande, perchè possiamo osservare lo stato per un tempo lungo a piacere in modo da minimizzare la dispersione sull'energia. Ora invece se aspettiamo un tempo lungo a sufficienza lo stato si "spegnerà".

Le imprecisioni sui valori dell'energia seguono una distribuzione di Cauchy, in questo caso conosciuta come distribuzione di Breit-Wigner non relativistica, che ha una p.d.f. del tipo

Viene anche chiamata distribuzione Lorentziana. La larghezza a metà altezza della curva è data dal valore di .

Cosa rappresenta il valore centrale della distribuzione?
Esempio

Consideriamo un urto tra un elettrone e un positrone. Tramite processi che ancora non conosciamo, in alcuni casi le due particelle si fondano assieme a formarne una più massiva, , di massa . A sua volta essa decadrà secondo diversi canali, riportiamo quelli principali:

  • , ;
  • , ;
  • ,

Conoscendo il valore dell'ampiezza di decadimento per la particella, , possiamo calcolare la sua vita media:

Confrontando con l'attuale miglior risoluzione temporale che riusciamo a ottenere, dell'ordine di , capiamo subito che risulta molto difficile calcolare con alta precisione l'energia associata a questo fenomeno.

Mentre ci aspetteremmo di poter determinare univocamente la massa della particella creata a seguito dell'urto elettrone-positrone, questo non accade, a meno di supporre di poter guardare tale fenomeno per un tempo , che abbiamo già capito essere impossibile. Avremo dunque una distribuzione di Breit-Wigner per le energie delle particelle create.

 
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