Lezione 13 - 13 marzo 2017

ediamo la potenza dei diagrammi di feynman

Positronio[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo già cos'è e abbiamo visto che ci sono due stati. para-positronio s=0, orto-positronio s=1.

Abbiamo visto che uno decade in un numero pari di fotoni, l'altro in un numero dispari.

Il para-positronio decade più rapidamente perchè ha una vita media minore e il rapporto tra le due vite medie è proporzionale ad una costante.

Ottenere tale rapporto è facile con i diagrammi di feynman

Para-positornio[modifica | modifica wikitesto]

disegno 1

qual è il diagramma più semplice?

disgno 2

si può dare alcune interpretazioni deterministiche:

  • l'elettrone ch earriva emette fotone di brehmsstralung e poi va a schiantarsi contro il positrone
  • il positrone emette bremhstralung e poi si schianta contro il protone

Entrambre queste interpretazioni corrispondono all'unico diagramma di feynman visto prima.

Ma cosa succede alla sezione d'urto?

Per ogni vertice del diagramma avremo un termine proporzionale alla radice della costante di struttura fine . Dunque nel nostro diagramma otterremo un termine dell'elemento di matrice e siccome la sezione d'urto è proporzionale al modulo quadro di tale coefficiente allora sarà proporzionale a

orto positronio[modifica | modifica wikitesto]

disegno 3

quale sarà il diagramma di feynman all'ordine più basso?

disegno 4

anche ui varie interpretazioni:

o doppio bremsthalung di una delle due particelle e poi schianto

oppure brehmstralung di ognuna delle due e poi dopo la deviazione si schiantano producendo un fotone

Qui l'elemento di matrice sarà e quindi

RISULTATO:

e infine

Il diagtramma di feynman ci dà il termine dominante.

Scattering Bhabha il ritorno[modifica | modifica wikitesto]

qual è l'elemento di matrice? abbiamo due vertici dunque sarà proporzionale ad alfa quindi la sezxione d'urto proporzionale ad alfa^2

e se ci troviamo in campo ultrarelativistico allora il flusso è proporzionale alla prima variabile di mandelstam come avevamo già visto.

Senza fare conti sappiamo a botta che se andiamo ad annichilare un elettrone con un positrone otteniamo una sezione d'urto differenziale che va come

se andiamo a fare i conti si può ricavare il coefficiente di proporzionalità

uesta funzione è stata studiata dagli anni 50 con i primi acceleratori circolari. E' stato osservato un oggetto di questo tipo (almeno innprima approssimazione). Una particelle perde energia se tende a permanere un tempo lungo in prossimità dell'altra. Quando abbiamo una particella molto veloce tende a stare poco vicino all'altra e la sezione d'urto scende. Quindi sembra che in teoria non abbia senso far scontrare particelle sempre più veloci.

In realtà andando a testare questo tipo di funzione sono stati trovati tante sorprese.

disegno 5

ogni picco corrisponde a diverse particelle prodotte durante l'interazione protone elettrone positrone.

Se voglio produrre una nuova particella, sarà più facile con un urto head-on o a bersaglio fisso?

sarà head-on perchè è più efficiente il trasferimento di quantità di moto, ma qual è l'energia necessaria a produrre la particella nei due urti?

Prendiamo ad esempio la particella Y (massa 10 GeV), se vogliamo produrla facendo scontrrare head-.on un elettrone e un positronequale dovrà essere la loro energia?

banalmente dovrà essere 5GeV , ma quale dovrà essere l'energia se vogliamo pèrodurre la particella con una targhettta fissa?

Esperimento Head-on[modifica | modifica wikitesto]

Caso generico

nel nostro caso specifico a e b sono elettrone e positrone. calcoliamo la massa invariante del sistema

le particelle sono on shell quindi sostituendo

La prima variabile di mandelstam è un invariante di Lorentz, se io sto producendo una particella di massa se mi metto nel suo rest-frame e significa che

In un urto head-on il sistema di riferimento del laboratorio coincide con il centro di massa, supponiamo di essere nel rest frame e che gli urti siano ultra-relativistici (). Allora la prima variabile di mandelstam

perchè le particelle vanno una contro l'altra il loro prodotto scalare avrà segno negativo

quindi dobbiamo dare alla particella la metà della massa

Esperimento a targhetta fissa[modifica | modifica wikitesto]

stavolta si muove solo a e b sta ferma. IN questo caso il sistema di riferimento del laboratorio non è il rest frame

Nel primo caso avremo

Se calcoliamo S

Nel rest-frame della particella che viene prodotta M, avremo che

du conseguenza

nel caso che M>> m_a , m_b allora

avere a denominatore m_b è un disastro: quando costruiamo un acceleratore cerchiamo particelle che siano facilmente reperibili, quindi con masse molto piccole rispetto a quelle che vogliamo produrre. Allora quel termine ci esplode ed è difficile far accelerare così tanto le particelle.

Esempio scoperta Z^0

in eseperimenti head-on ci voglono

in esperimenti a targhetta fissa si ottiene che è impossibile da produrre

però si potrebbe pensare di accelerare un protone che è comunque un numero mica da ridere, ci siamo arrivati nel 2008 quando LHC entra in funzione.

Quindi gli urti head-on sono molto meglio per scoprire le particelle.

Interazioni forti[modifica | modifica wikitesto]

La descrizione dell'atomo alla Rutherford presenta delle contraddizioni

  • Elettroni orbitano intorno al nucleo senza dipsersione di radiazione
  • nucleo elettrostaticameente instabile perchè ci sarebbe repulsione tra i protoni.

Nel 1932 si scopre che nel nucleo ci sono protoni e neutroni ma questi sono neutri e non potevano fornire l'energia elettrostatica per farlo stare assieme. Si comincia a studiare in maniera sistematica le forze tra i nucleoni. Wien dimostra che sono molto intense (dell'ordine del MeV contro quelle tipiche dell0'elettromagnetismo dell'ordine dell'eV). Inoltre fece un ragionamento banale: vediamo qual è l'energia di legame al variare di nucleoni. Quest'energia tendeva a crescre, più nucleoni più l'energia del singolo nucleone. Forse una possibilità è che all'aumentare dei nucleoni diminuisce la distanza e se le interazioni sono a corto range l'energia tende a crescere

Primi risultati si ottennero quando si mandarono i primi elettroni contro i nuclei, se questi colpiuvano allora si accendevano delle interazioni tra i nucleoni , mentre se ci passava di fianco ma comunque fuori le interazioni tra nucleoni sparivano.

Perchè le interazioni forti sono forti? perchè sembrano spegnersi a distanze di 10^-15 m. Ma tutte queste cose sono state capite in maniera profonda solo verso il 1973.

La risposta a questa domanda è la stessa dell'elettrodinamica, sono interazioni descritte dall'hamiltoniana che viene da una simmetria di gauge. L'unica diffreenza è che il gurppo di simmetria non è quello dei cambiamenti di fase ma si chiama .

Perchè ci è voluto tutto sto tempo per capire? Le interazioni forti non solo risultano apparentemente diverse da quelle elettromagnetiche, ma inotltre coinvolgono particelle che non si osservano mai come particelle libere, ma coinvolgono i quark

Quark[modifica | modifica wikitesto]

Sono delle particelle elementari, dei fermioni, a spin e carica elettrica pari a . Ne esistono 6 diversi, i tipi si chiamano flavor:

  1. quark up, lettera u, spin carica elettrica , massa
  2. quark down, lettera d, spin 1/2 , carica elettrica -1/3, massa
  3. quark strange, lettera s, 1/2, -1/3, massa
  4. quark charme, lettera c, spin 1/2, 2/3, massa
  5. quark beauty, lettera b, 1/2, -1/3, massa
  6. quark top, lettera t, 1/2, 2/3,

La parola quark non ha snso, è presa in prestito da Joyce, c'è una frasetta tipo 3 quarks for mister Mark,

la parola è volutamente a caso: nel 1963 quando per la prima volta si è immaginato l'esistenza degli oggetti si pensava ad una speculazione teorica. i nomi sono cambiati col tempo.

Le interazioni forti sono difficili da capire perchè i fermioni elementari a cui sono soggetti non si osservano mai come particelle libere, ma solo come stati legati.

La teoria delle interazioni forti generalizza il concetto di carica eletttrica e di simmetria di gauge

Carica elettrica[modifica | modifica wikitesto]

In elettrodinamica si presuppone che esista solo la carica elettrica, ma si può assumere che esistano diversi tipi di carica. Se avessimo ad esempio due tipi di carica diversa, ci sarebbero 4 possibilità: cosa succede quando due particelle con cariche di tipo diverse hanno lo stesso segno? o quando hanno segno opposto? come interagiscono i due tipi?

Le cariche forti sono di tipo:

  • carica rossa (R)
  • carica verde (G)
  • carica blu (B)

In linea di principio si possono avere qualunque numero associato alle cariche, in realtà si vede che

  • la carica rossa assume solo valori 1,0
  • la carica verde assume solo valori 1,0
  • la carica blu assume solo valori 1,0

Questo vale per i quark. per gli antiquark il discorso è uguale ma con -1 al posto di 1.

Perchè funzioni la teoria delle interazioni forti deve spiegare cosa succede quando una carica rossa interagisce con un'altra carica rossa, ma anche con le altre tipologie di carica e via così.

Se volessimo descrivere la teoria delle interazioni forti in mq non relativistica dovremmo descrivere una funzione d'onda che in generale ci dià la probabilità di osservare un quarlk in un certo punto dello spazio. Questo era sufficiente in elettrodinamica, dove si sottintendeva la carica. Qui ci sono diversi tipi di carica e bisogna tenerne conto.

Servirà una roba del tipo

per questo di solito si usa una trattazioni con funzioni d'onda definite in uno spazio vettoriale C^3. Le funzioni d'onda sono comunque raggi in uno spoazio di hilbert, sono sempre funzioni che singolarmente hanno il loro dominio e codominio e ognuna di loro da un solo valore per ogni spazio e tempo. Noi stiamo semplicemente usando tre funzioni d'onda scorrelate e alla terna assegniamo un vettore. Il sosttospazio generato sarà sottospazio di C^3

Prendiamo ora le simmetrie di gauge. In elettrodinamica abbiamo funzioni d'onda che avranno genericamente valori complessi. Sappiamo che il gruppo di simmetria in elettrodinamica è quelllo delle trasformazioni di fase

Per costruire l'elettrodinamica quantistica poi abbiamo detto che vogliamo che valga

ognuno si riserva il diritto di ridefinire la funzione d'onda in qualunque punto dello spazio-tempo.

Cosa succede con i tre tipi di carica? una cosa simile.

Inizialmente avremo una funzione d'onda che questa volta tirerà fuori tre valori

cioè tutte le possibili rotazioni che si possono fare delle tre funzioni d'onda. Occhio che le rotaziuoni sono in C^3, quindi rotazioni rispetto ad uno spazio che ha come tre assi dei numeri complessi. Al posto di un unica fase avremo tre fasi e al posto dell'identità avremo matrici di ordine 3. Questo rappresenta la più generale variazione di fase delle funzioni d'onda per i quark

Questo poi si trasforma in una simmetria di gauge

quindi come si dice promuoviamo a simmetria locale le fasi. Richiediamo che le distribuzioni di probabilità rimanga costante e troviamo la moderna teoria delle interazioni forti.

La moderna teoria delle interazioni forti + stata inventata nel 1973, abbastanza recente. Tutti i libri di testo solitamente non seguono quest'approccio ma fanno quello storico. Potrebbe risultare quindi più difficile e incompleto. Consiglia di andare a leggere direttamente il capitolo sulla cromodinamica quantistica e poi noi dedurremo delle conseguenze

Cromodinamica Quantistica[modifica | modifica wikitesto]

è una teoria di gauge basata sul gruppo applicato al colore delle particelle.

Questo gruppo è il gruppo delle matrici di ordine 3 a valori complessi che sono unitarie e a determinante 1. la S davanti alla U sta per speciale, e speciale e l'aggettivo che si da alle matrici a determinante 1.

Dimostriamo che è un gruppo

scrivere definizione di gruppo.

ovviiamente il prodotto tra due matrici del gruppo SU(3) avrà ancora determinante 1, ci chiediamo se valga che siano ancora unitarie

ovvero

Possiede l'identità e l'inversa? l'identità appartiene sicuramente a questo gruppo e ovviamente per ogni matrice unitaria esiste la sua inversa perchè è per definizione di matrice unitaria.

La proprietà associativa vale per qualunque matrice quadrata

Quidni è effettivamente un gruppo.

Questa dimostrazione era relativamente semplice perchè siamo riusciti a dare una rappresentazione matriciale del gruppo SU(3). Ci chiediamo se è sempre possibile rappresentare i gruppi tramite delle matrici. Si, tramite le

Rappresentazioni del gruppo[modifica | modifica wikitesto]

Una rappresentazione del gruppo in uno spazio vettoriale è una mappa che associa ad ogni elemento operatore lineare tale per cui le proprietà del gruppo sono riprodotte nelle proprietà delle matrici

dimensione dello spazio vettoriale H è detta dimensione della rappresentazione. Per qualunque gruppo si può scegliere la dimensione della rappresentazione in maniera arbitraria.

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