Lezione 11 - 20 dicembre 2016

Atomo di elio 2 il ritorno del protone[modifica | modifica wikitesto]

Andiamo adesso a considerare il primo stato eccitato 2s. Esso avrà energia

In questo caso ci sono quattro configurazioni possibili: infatti abbiamo due particelle e due stati, su ogni stato è possibile avere spin up e down. Per ogni configurazione avremo un determinante di Slater diversi.

1s spin su, 2s spin su[modifica | modifica wikitesto]

Per la prima configurazione scriviamo:

la parte di spin è simmetrica, la parte spaziale antisimmetrica.

1s spin giù , 2s spin giù[modifica | modifica wikitesto]

Per la seconda configurazione scriviamo

Poi a quanto pare le altre due configurazioni non servono, però si combinano in qualche modo che non ha detto. Poi ha scritto una formula che non si è capita. Sembra tutta roba importante comunque

Questi quattro stati sono tutti degeneri a quanto pare, l'energia dipende solo dallo stato su cui si trovano le particelle (per l'hamiltoniana imperturbata). I quattro determinanti di slater dunque hanno tutti la stessa energia, posso scegliere di farne una combinazione lineare.

Ora facciamo entrare in gioco la perturbazione. Usiamo la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo.

Siccome l'hamiltoniana di perturbazione è diagonale sulla base del tripletto che abbiamo ottenuto tramite combinazione lineare delle varie configurazione ci basta calcolarne il valor medio

dove J è l'integrale visto ieri.

Mentre K è detto integrale di scambio perchè è uguale a J a parte uno scambio dei termini

Entrambi i due integrali sono positivi, quindi il tripletto ha energia più bassa del singoletto

Qual è la densità di probabilità che le due particelle stiano nello stesso punto?

inserendo la stessa posizione nello stato questo si annulla (stato di tripletto). quindi la probabilità è nulla

nello stato di singoletto invece no.

Per descrivere i due livelli di enrgia, di tripletto e singoletto, c'è un hamiltoniana efficace

Il prodotto scalare

Quindi i due livelli energetici si possono interpretare come interazione tra spin che tende a tenere i due spin paralleli diminuendo l'energia. Tale hamiltoniana è detta hamiltoniana di Heisenberg e descrive un'interazione efficace tra i due spin. Questa hamiltoniana è alla base della descrizione del ferromagnetismo dei solidi.

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