Lezione 10 - 19 dicembre 2016

Atomo di Elio[modifica | modifica wikitesto]

Nucleo con e 2 elettroni. Trascuriamo l'effetto di massa ridotta, nucleo fisso e due elttroni che orbitano attorno.L'hamiltoniana

essendoci la parte di interazione coulombiana attrattiva l'hamiltoniana non è separabile. Non esiste una soluzione esatta. Il primo approccio è di considerare l'hamiltoniana come somma di due hamiltoniane idrogenoidi e di considerare l'hamiltoniana di interazione come una perturbazione

e consideriamo la perturbazione piccola rispetto alle altre due in modo che la somma degli altri due termini dia un'hamiltoniana imperturbata.

Sistema imperturbato[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo studiato il problema agli autovalori per l'hamiltoniana idrogenoide

l'autostato di tale hamiltoniana è fattorizzato

vale anche che

si ottiene un'equazione per la sola parte radiale, che nel caso dell'atomo idrogenoide

A tale funzione d'onda corrisponde un'energia

Dove naturalmente il coefficiente è il raggio di Bohr . Lo stato fondamentale corrisponde a ed è chiamato stato . Se vogliamo studiare solo la parte imperturbata dell'atomo di elio essa è separabile. Le soluzioni sono le somme delle soluzioni dell'atomo idrogenoide.

Stato fondamentale dell'atomo di elio[modifica | modifica wikitesto]

La funzione d'onda che dovremo usare saranno del tipo

a meno di un fattore di normalizzazione.

Ora, tenendo conto del principio di esclusione di Pauli, possiamo riempire il livello 1s con un elettrone a spin up e uno a spin down. Ora usiamo il simbolo per indicare la funzione d'onda correttamente antisimmetrizzata per scambio. Per fare ciò serve il determinante di Slater (?)

bisogna farne il determinante

Le due funzioni d'onda differiscono per lo spin, la parte spaziale rimane uguale e si può raccogliere

Complessivamente è antisimmetrica rispetto allo scambio (infatti sono fermioni). Il termine di spin della funzione d'onda è proprio lo stato di singoletto. Esso è un autostato dello spin totale dei due elettroni. A questa funzione d'onda corrisponde un'energia imperturbata che è somma delle due energie di singola particella

Dove indica che quella è l'energia di Rydberg. L'energia sperimentale misurata con effetto fotoeletrico per l'atomo di elio nello stato fondamentale è . Notiamo che sono diverse proprio perchè non abbiamo considerato la perturbazione.

In prima approssimazione introduciamo l'effetto di interazione tra gli elettroni tramite teoria delle perturbazioni al primo ordine.

dove non abbiamo considerato la parte di spin poichè la perturbazione non dipende dallo spin, questo entrerebbe nell'integrale come prodotto interno(scalare) ed essendo la funzione d'onda normalizzata non andrebbe a contribuire nell'integrale. Inseriamo dunquela parte spaziale di tale funzione d'onda

L'interpretazione fisica è la seguente: Se supponiamo di associare alla funzione d'onda dell'elettrone la sua distribuzione di probabilità e moltiplichiamo per la carica, possiamo leggere tale oggetto come densità di carica e similmente per l'altro elettrone. l'integrale che stiamo facendo quindi è l'integrale coulombiano classico che dà l'energia elettrostatica tra le due cariche

Un integrale siffatto si indica anche in fisica atomica con simbolo e si chiama integrale coulombiano diretto. L'energia dell'atomo di elio si scriverà come l'energia imperturbata più l'energia data da . Nel caso di funzioni d'onda 1s l'integrale è di facile risoluzione, anche se noiosa. Il risultato . Dalla somma con il risultato precedente si ottiene . Questa sarebbe l'energia media dell'hamiltoniana esatta dell'atomo di elio sulla funzione d'onda approssimata. Esso è maggiore del valore sperimentale, come ci aspettiamo, perchè il valor medio è sempre maggiore o uguale dell'energia di stato fondamentale (per qualsiasi hamiltoniana e funzione d'onda).

Disuguaglianza sul valor medio[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo hamiltoniana e funzione d'onda. Indichiamo autostati e autovalori dell'hamiltoniana, è l'energia di stato fondamentale. Siccome l'insieme degli autostati dell'hamiltoniana è una base dello spazio di Hilbert, una qualsiasi funzione d'onda può essere scritta come combinazione lineare degli autostati. Se calcoliamo

ma per definizione quindi vale . siccome la funzione d'onda è normalizzata la somma dei coefficienti modulo quadro è unitaria per cui vale la disuguaglianza.

Miglioriamo la funzione d'onda[modifica | modifica wikitesto]

Osserviamo che la lunghezza caratteristica con cui decade la funzione d'onda () è il risultato di un compromesso tra minimizzazione dell'energia potenziale, ottenuta minimizzando la localizzazione delle particelle, e l'energia cinetica. Localizzando le particelle sul nucleo gli elettroni si respingono di più (infatti l'integrale dipende da Z), più grand Z più gli elettroni si respingono. Quello che potremmo fare è costruire un'altra funzione d'onda in cui ci sia una "manopola" per modificare il grado di localizzazione della particella e trovare il grado ottimale.

Il modo più semplice per farlo è scrivere una funzione d'onda

e inserirla nella funzione d'onda a due particelle. Calcolando ora il valor medio sull'hamiltoniana esata troveremo un energia che dipende dal parametro Z e poi troveremo quello migliore.

grazie alla disuguaglianza di prima sappiamo che se costruiamo funzioni d'onda che diano energie più basse ci stiamo avvicinando di più all'energia di stato fondamentale.

Scriviamo l'hamiltoniana imperturbata come somme di energia cinetica e potenziale

l'ultimo termine l'abbiamo calcolato prima vale .

La funzione d'onda che stiamo usando corrisponde alla funzione d'onda di stato fondamentale di un'hamiltoniana efficace che dipende dal parametro

di cui conosciam l'energia . Inoltre in questo caso. Allora sappiamo calcolare

quell'hamiltoniana è l'hamiltoniana dell'energia potenziale.

Per l'energia cinetica, sappiamo che

siccome abbiamo appena calcolato il valor medio per l'energia potenziale ci basta sottrarre

quindi l'energia cinetica media vale

Questo è per un singolo elettrone. Nel nostro caso abbiamo la somma di due termini uguali quindi c'è un fattore 2. Da tuttò ciò otteniamo

Riscriviam in modo ordinato

ora vogliamo minimizzare tale equazione

Nel caso dell'atomo di elio dunque . Questo vuol dire che la funzione d'onda è meno localizzata rispetto a quanto succede per l'atomo idrogenoide. La carica efficace che l'elettrone sente è più piccola della carica di due protoni: questo avviene come una specie di schermatura dovuta ai vari effetti di interazione presenti nel sistema.

L'energia che otteniamo con questo valore di carica efficace è

Teorema del Viriale[modifica | modifica wikitesto]

Se abbiamo un'hamiltoniana scritta come somma di energia potenziale e cinetica, e un autostato dell'hamiltoniana, allora vale che

In particolare, se è un potenziale coulombiano, allora

Lo stesso teorema può essere applicato al sistema dell'oscillatore armonico

 PrecedenteSuccessivo