Operazioni sulle distribuzioni

Le operazioni sulle distribuzioni sono definite a partire dalle operazioni sulle funzioni di prova. Per comprendere le definizioni è utile fare riferimento alle rappresentazioni integrali, valide per le distribuzioni regolari.

Rototraslazioni e diffeomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Sulle funzioni una rototraslazione è definita come . Definiamo la rototraslazione di una distribuzione come:

Per distribuzioni regolari, infatti, questa definizione ha significato immediato: un semplice cambio di variabile consente di verificare l'eguaglianza
In generale possiamo estendere questo procedimento per definire come si comporta una distribuzione sotto un generico diffeomorfismo. Un diffeomorfismo è una funzione invertibile ( , con matrice jacobiana associata a ).

Una funzione di prova è necessariamente scalare rispetto a questo cambio di variabili, ossia . Sotto l'azione di (pull-back). Per le distribuzioni si definisce

Vediamo il significato di questa definizione per le distribuzioni regolari. Svolgiamo il secondo membro dell'eguaglianza in rappresentazione integrale

Eguagliando tale espressione al primo membro dell'eguaglianza ricaviamo l'espressione per :
Alternativamente

Da questa espressione notiamo che, a differenza delle funzioni di prova, le distribuzioni trasformano sotto diffeomorfismi come misure.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (Derivata di una distribuzione)

 

Poniamoci ancora una volta in rappresentazione integrale per comprendere il significato della definizione, e poniamo k=1.

Osservazione

La definizione è ben posta perchè se .

 
Osservazione

Questa definizione consente di concludere che ogni distribuzione è infinitamente differenziabile. Per le ditribuzioni è quindi sempre possibile:

  • scambiare l'ordine di derivazione:
  • scambiare l'operazione di limite con l'operazione di derivata
  • scambiare l'operazione di somma con l'operazione di derivata (derivare una serie termine a termine)
 

Integrazione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione della primitiva di una distribuzione è più delicata. Ci piacerebbe infatti procedere come per le altre definizioni e porre

dove rappresenta la primitiva di . Tuttavia questa definizione non è ben posta, in quanto non tutte le funzioni in hanno primitiva che è a sua volta in . Il seguente lemma, tuttavia, ci consente di costruire una definizione ben posta.

Lemma

Sia il sottospazio di delle funzioni di prova aventi primitiva in . Sia ora e . possiamo decomporre come

 

Definiamo ora

Il termine rappresenta una costante di integrazione, mentre la definizione della primitiva di tramite l'azione su risulta ben posta perchè e dunque .

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