Introduzione

Il primo tentativo di rappresentare matematicamente le variabili fisiche consiste nel pensarle come funzioni, ossia come regole che assegnano un numero ad ogni valore assunto da una variabile indipendente.

Ad esempio, possiamo considerare la grandezza fisica "forza" come funzione della variabile indipendente "tempo" . La grandezza "forza" sarà da considerarsi nota qualora si conosca il suo valore ad ogni istante .

Tale modellizzazione delle variabili fisiche, tuttavia, comporta di essere in grado di definire puntualmente il loro valore. Questo è in generale impossibile, per motivazioni sia pratiche che teoriche. Dal punto di vista pratico, non vi è alcuno strumento in grado di misurare un valore puntuale: ogni strumento misura in realtà il valore medio assunto da una grandezza in un intorno piccolo, ma finito, del punto. Dal punto di vista teorico, la meccanica quantistica mostra che non è proprio possibile definire puntualmente le grandezze fisiche, e nel suo apparato matematico vediamo comparire "oggetti" come la delta di Dirac che non sono descrivibili come funzioni .

La teoria delle distribuzioni consente di aggirare il problema della definizione puntuale delle grandezze fisiche, e di dare un senso a questi "oggetti" che emergono naturalmente nella meccanica quantistica.

Una grandezza fisica verrà modellizzata da un funzionale lineare continuo agente su funzioni di prova, ossia da una regola che assegna un valore ad ogni funzione in uno spazio di "funzioni di prova".

Convenzioni e notazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Gli integrali sono da intendere secondo Lebesgue
  • La discussione verrà fatta principalmente per variabili unidimensionali, la generalizzazione a variabili multidimensionali è banale, considerando
    • dal momento che, come vedremo, l'ordine di derivazione è irrilevante per le distribuzioni
    • condizione di continua
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