Delta di Dirac

Sebbene ci si riferisca alla di Dirac come ad una funzione, e si trovino spesso nella letteratura espressioni quali , esse sono in realtà un abuso di linguaggio. Infatti la di Dirac acquista senso solo come distribuzione, ossia come funzionale agente su funzioni, ed è inoltre l'esempio più noto di distribuzione singolare, come ora dimostreremo. Proprio perchè è singolare, esprimerne l'azione tramite un integrale è formalmente errato, poichè non esiste nessuna funzione corrispondente al funzionale .

L'espressione definitoria del funzionale di Dirac è
Teorema

La distribuzione definita da è una distribuzione singolare.

 
Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che . Supponiamo per assurdo che tale funzione esista. L'eguaglianza sopra enunciata deve essere valida . Sia dunque .

Ora, dalla definizione si ha

Tuttavia
e si ha dunque un assurdo.

 

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo , con diffeomorfismo. In base alla definizione data in Operazioni sulle distribuzioni, si ha

Se

Costruzione generale di rappresentazioni della [modifica | modifica wikitesto]

Teorema

Sia una successione di distribuzioni regolari in . Se le seguenti condizioni sono soddisfatte

  1. ()
allora
 
Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che .

Consideriamo

  1. grazie alla condizione 1.
  2. . Poichè è lipschitziana nell'intervallo : . Vale dunque
  3. grazie alla condizione 3. Infatti
    per abbastanza grande da essere oltre il supporto di .
In conclusione quindi
 
Questo teorema fornisce delle condizioni sufficienti ma non necessarie affinchè una successione di distribuzioni converga al funzionale delta. Il seguente esempio mostra infatti che esistono successioni di distribuzioni convergenti alla che non soddisfano le condizioni del teorema.
Esempio

La condizione 1. è certamente soddisfatta, in quanto
Analogamente, la condizione 3. è verificata. Infatti
in quanto soddisfa le ipotesi del lemma di Riemann-Lebesgue nei due intervalli .

Tuttavia la condizione 2. non è verificata, dal momento che la costante non può essere scelta indipendentemente da .

Dunque la successione non rispetta le ipotesi del teorema. Ciononostante

Infatti
Ora:

  1. per il lemma di Riemann-Lebesgue applicato a
Dunque
 
Il seguente esempio mostra invece una successione che rispetta le ipotesi del teorema.
Esempio (Esempio: rappresentazione Lorenziana)

Consideriamo

e verifichiamo che le ipotesi del teorema sono soddisfatte.

 
La rappresentazione lorenziana consente di dimostrare la formula di Plemely-Soch7otzki.
 PrecedenteSuccessivo