L'equazione della corda vibrante

In questa sezione ci occuperemo di risolvere l'equazione della corda vibrante, definita da:

$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}.$$

$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}.$$

Vogliamo capire per quali condizioni iniziali $u(0,x)=f(x)$$u(0,x)=f(x)$ esiste la soluzione e se e' unica.

Osservazione

Le funzioni $u_{n}(t,x)=\sin(nx)\cos(cnt)$$u_{n}(t,x)=\sin(nx)\cos(cnt)$ risolvono l'equazione; dunque ogni serie della forma:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{b_{k}\sin(kx)\cos(ckt)}$$

$$\sum _{k=1}^{\infty }{b_{k}\sin(kx)\cos(ckt)}$$

per certi $b_{k}\in \mathbb {R}$$b_{k}\in \mathbb {R}$ la soddisfano. All'istante $t=0$$t=0$ la funzione precedente diventa:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{b_{k}\sin(kx)}.$$

$$\sum _{k=1}^{\infty }{b_{k}\sin(kx)}.$$

Ma quali funzioni $f(x)$$f(x)$ si possono scrivere in questa forma?

 

Proviamo a risolvere l'equazione separando le variabili; scriviamo dunque $u(t,x)=T(t)X(x)$$u(t,x)=T(t)X(x)$. Sostituendo si ha:

$$u_{tt}=T''(t)X(x)=c^{2}T(t)X''(x)=c^{2}u_{xx}\quad \Rightarrow \quad {\frac {T''(t)}{T(t)}}=c^{2}{\frac {X''(x)}{X(x)}}.$$

$$u_{tt}=T''(t)X(x)=c^{2}T(t)X''(x)=c^{2}u_{xx}\quad \Rightarrow \quad {\frac {T''(t)}{T(t)}}=c^{2}{\frac {X''(x)}{X(x)}}.$$

Ma la due funzioni uguagliate sono in variabili diverse, dunque:

$${\frac {T''(t)}{T(t)}}=c^{2}{\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ,$$

$${\frac {T''(t)}{T(t)}}=c^{2}{\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ,$$

per un certo $\lambda \in \mathbb {R}$$\lambda \in \mathbb {R}$. Ci siamo dunque ricondotti a studiare il sistema:

$${\begin{cases}X''(x)+{\frac {\lambda }{c^{2}}}X(x)=0\\X(-\pi )=X(\pi )=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}X''(x)+{\frac {\lambda }{c^{2}}}X(x)=0\\X(-\pi )=X(\pi )=0\end{cases}}$$

in quanto vogliamo che la corda sia fissata alle estremita'. Supponiamo d'ora in poi $c=1$$c=1$. Vediamo che $\lambda >0$$\lambda >0$. Infatti:

$$X''(x)X(x)+\lambda (X(x))^{2}=0\quad \Rightarrow \quad \int _{-\pi }^{\pi }{X''(x)X(x)dx}+\lambda \int _{-\pi }^{\pi }{X(x)^{2}dx}=0,$$

$$X''(x)X(x)+\lambda (X(x))^{2}=0\quad \Rightarrow \quad \int _{-\pi }^{\pi }{X''(x)X(x)dx}+\lambda \int _{-\pi }^{\pi }{X(x)^{2}dx}=0,$$

ma integrando per parti:

$$\underbrace {[X'(x)X(x)]_{-\pi }^{\pi }} _{=0}-\int _{-\pi }^{\pi }{(X'(x))^{2}dx}+\lambda \int _{-\pi }^{\pi }{X(x)^{2}dx}=0$$

$$\underbrace {[X'(x)X(x)]_{-\pi }^{\pi }} _{=0}-\int _{-\pi }^{\pi }{(X'(x))^{2}dx}+\lambda \int _{-\pi }^{\pi }{X(x)^{2}dx}=0$$

in quanto $X(-\pi )=X(\pi )=0$$X(-\pi )=X(\pi )=0$, quindi $\lambda >0$$\lambda >0$ perche' quoziente di due numeri positivi. Alla fine l'equazione caratteristica e'$\mu ^{2}+\lambda =0$$\mu ^{2}+\lambda =0$, le cui radici sono $\mu _{1,2}=\pm i{\sqrt {\lambda }}$$\mu _{1,2}=\pm i{\sqrt {\lambda }}$, che portano a una soluzione:

$$X(x)=c_{1}\sin({\sqrt {\lambda }}x)+c_{2}\cos({\sqrt {\lambda }}x),$$

$$X(x)=c_{1}\sin({\sqrt {\lambda }}x)+c_{2}\cos({\sqrt {\lambda }}x),$$

a cui imponendo le condizioni iniziali diventa:

$$X(x)=c_{1}\sin(kx),$$

$$X(x)=c_{1}\sin(kx),$$

dove $k^{2}=\lambda$$k^{2}=\lambda$ in quanto $\sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0\Rightarrow {\sqrt {\lambda }}\pi =k\pi$$\sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0\Rightarrow {\sqrt {\lambda }}\pi =k\pi$, con $k\in \mathbb {Z}$$k\in \mathbb {Z}$, e dunque $c_{2}=0$$c_2=0$. Dunque l'equazione e' risolubile solo nel caso in cui $\lambda$$\lambda$ sia un quadrato.

Mettiamoci ora nel caso generale in cui non si possono separare le variabili; se supponiamo che la soluzione sia esprimibile con la sua serie di Fourier:

$$u(t,x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}(t)e^{inx}},$$

$$u(t,x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}(t)e^{inx}},$$

allora ci riconduciamo a risolvere:

$${\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx}\\u(-\pi ,x)=u(\pi ,x)\\u_{t}(-\pi ,x)=u_{t}(\pi ,x)\\u(0,x)=u_{0}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}e^{inx}}\\u_{t}(0,x)=u_{1}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{d_{n}e^{inx}}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx}\\u(-\pi ,x)=u(\pi ,x)\\u_{t}(-\pi ,x)=u_{t}(\pi ,x)\\u(0,x)=u_{0}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}e^{inx}}\\u_{t}(0,x)=u_{1}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{d_{n}e^{inx}}\end{cases}}$$

Sostituendo le serie:

$$\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}''(t)e^{inx}+c^{2}n^{2}c_{n}(t)e^{inx}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{(c_{n}''(t)+c^{2}n^{2}c_{n}(t))e^{inx}}=0$$

$$\sum _{n\in \mathbb {Z} }{c_{n}''(t)e^{inx}+c^{2}n^{2}c_{n}(t)e^{inx}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{(c_{n}''(t)+c^{2}n^{2}c_{n}(t))e^{inx}}=0$$

da cui ogni coefficiente e'$0$$0$ perche'$e^{inx}$$e^{inx}$e' base, cioe' abbiamo dei sistemi ordinari:

$${\begin{cases}c_{n}''(t)+c^{2}n^{2}c_{n}(t)=0\\c_{n}(0)=c_{n}\\c_{n}'(0)=d_{n}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}c_{n}''(t)+c^{2}n^{2}c_{n}(t)=0\\c_{n}(0)=c_{n}\\c_{n}'(0)=d_{n}\end{cases}}$$

La soluzione di questo sistema e':

$$c_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}$$

$$c_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}$$

per $n\neq 0$$n\ne 0$, mentre per $n=0$$n=0$ la soluzione e' banalmente $c_{0}(t)=c_{0}+d_{0}t$$c_0(t)=c_0+d_0t$. Quindi ci rimane da studiare la convergenza della somma:

$$u^{N}(t,x)=c_{0}+d_{0}t+\sum _{0\neq |n|\leq N}{\left({\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}\right)e^{inx}}.$$

$$u^{N}(t,x)=c_{0}+d_{0}t+\sum _{0\neq |n|\leq N}{\left({\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}\right)e^{inx}}.$$

Se avessimo che:

$$\sum _{n\in \mathbb {Z} }{|n|^{2}|c_{n}|}<+\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{n\in \mathbb {Z} }{|n||d_{n}|}<+\infty ,$$

$$\sum _{n\in \mathbb {Z} }{|n|^{2}|c_{n}|}<+\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{n\in \mathbb {Z} }{|n||d_{n}|}<+\infty ,$$

allora avremmo che la serie convergerebbe assolutamente a una funzione in $C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {T} )$$C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {T} )$ che sarebbe la soluzione voluta. Se $u_{0}\in C^{3}(\mathbb {T} )$$u_{0}\in C^{3}(\mathbb {T} )$ e $u_{1}\in C^{2}(\mathbb {T} )$$u_{1}\in C^{2}(\mathbb {T} )$, abbiamo queste convergenze, che ci permettono di scrivere la soluzione dell'equazione della corda:

$$u^{N}(t,x)=c_{0}+d_{0}t+\sum _{n\neq 0}{\left({\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}\right)e^{inx}}.$$

$$u^{N}(t,x)=c_{0}+d_{0}t+\sum _{n\neq 0}{\left({\frac {1}{2}}\left(c_{n}+{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{icnt}+{\frac {1}{2}}\left(c_{n}-{\frac {d_{n}}{icn}}\right)e^{-icnt}\right)e^{inx}}.$$

Proposizione (16)

Nelle ipotesi appena poste, la soluzione dell'equazione della corda e' unica.

 

Dimostrazione

Supponiamo che ce ne siano due, $u$$u$ e $v$$v$; si $U=u-v$$U=u-v$. $U$$U$e' una funzione periodica sul toro che soddisfa:

$${\begin{cases}U_{tt}=c^{2}U_{xx}\\U(0,x)=0\\U_{t}(0,x)=0\\U_{x}(0,x)=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}U_{tt}=c^{2}U_{xx}\\U(0,x)=0\\U_{t}(0,x)=0\\U_{x}(0,x)=0\end{cases}}$$

Allora $(U_{tt}-c^{2}U_{xx})U_{t}=0$$(U_{tt}-c^{2}U_{xx})U_{t}=0$, da cui integrando per parti:

$${\begin{aligned}0=\int _{-\pi }^{\pi }{(U_{tt}-c^{2}U_{xx})U_{t}dx}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{U_{x}U_{tx}dx}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}|^{2}dx}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}0=\int _{-\pi }^{\pi }{(U_{tt}-c^{2}U_{xx})U_{t}dx}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{U_{x}U_{tx}dx}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}|^{2}dx}\end{aligned}}$$

quindi ho che la somma di due numeri positivi e'$0$$0$, cioe':

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}|^{2}dx}\right)=0,$$

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}|^{2}dx}\right)=0,$$

quindi la somma fra parentesi e' costante:

$$\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}(t,x)|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}(t,x)|^{2}dx}=\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}(0,x)|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}(0,x)|^{2}dx}=0$$

$$\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}(t,x)|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}(t,x)|^{2}dx}=\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{t}(0,x)|^{2}dx}+c^{2}\int _{-\pi }^{\pi }{|U_{x}(0,x)|^{2}dx}=0$$

percio'$U_{t}\equiv 0$$U_{t}\equiv 0$ e $U_{x}\equiv 0$$U_{x}\equiv 0$, cioe'$U={\text{costante}}$$U={\text{costante}}$, ma essendo $0$$0$ all'inizio e'$0$$0$ sempre.

 

Consideriamo ora il caso bidimensionale, cioe' consideriamo una membrana $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}$$\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ fissata al bordo $\partial \Omega$$\partial\Omega$ libera di vibrare. Supponiamo che $\Omega =B(0,1)$$\Omega =B(0,1)$ e cerchiamo una funzione $u(t,x,y):\mathbb {R} \times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$$u(t,x,y):\mathbb {R} \times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ che in ogni momento $t$$t$ indichi l'altezza del punto $(x,y)$$(x,y)$. Passiamo in coordinate polari:

$${\begin{cases}x=\rho \cos(\theta )\\y=\rho \sin(\theta )\end{cases}}$$

$${\begin{cases}x=\rho \cos(\theta )\\y=\rho \sin(\theta )\end{cases}}$$

Dunque ho che $u=u(t,\rho ,\theta ):\mathbb {R} \times [0,1]\times \mathbb {T}$$u=u(t,\rho ,\theta ):\mathbb {R} \times [0,1]\times \mathbb {T}$, con $u(t,1,\theta )=0$$u(t,1,\theta )=0$$\forall t,\theta$$\forall t,\theta$. L'equazione da risolvere (analogamente al caso 1-dimensionale) e':

$$u_{tt}=c^{2}\Delta u,$$

$$u_{tt}=c^{2}\Delta u,$$

dunque calcoliamo:

$${\begin{cases}u_{\rho \rho }=u_{xx}\cos ^{2}(\theta )+2u_{xy}\sin(\theta )\cos(\theta )+u_{yy}\sin ^{2}(\theta )\\u_{\theta \theta }=u_{xx}\rho ^{2}\sin ^{2}(\theta )-2u_{xy}\rho ^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )+u_{yy}\rho \cos ^{2}(\theta )-u_{x}\rho \cos(\theta )-u_{y}\rho \sin(\theta )\end{cases}}$$

$${\begin{cases}u_{\rho \rho }=u_{xx}\cos ^{2}(\theta )+2u_{xy}\sin(\theta )\cos(\theta )+u_{yy}\sin ^{2}(\theta )\\u_{\theta \theta }=u_{xx}\rho ^{2}\sin ^{2}(\theta )-2u_{xy}\rho ^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )+u_{yy}\rho \cos ^{2}(\theta )-u_{x}\rho \cos(\theta )-u_{y}\rho \sin(\theta )\end{cases}}$$

dunque:

$$\Delta u=u_{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}u_{\rho }+{\frac {1}{\rho ^{2}}}u_{\theta \theta }.$$

$$\Delta u=u_{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}u_{\rho }+{\frac {1}{\rho ^{2}}}u_{\theta \theta }.$$

Separiamo le variabili e supponiamo che $u(t,\rho ,\theta )=T(t)R(\rho )\Theta (\theta )$$u(t,\rho ,\theta )=T(t)R(\rho )\Theta (\theta )$. Con passaggi simili al caso 1-dimensionale si ottiene:

$${\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=-\lambda ,$$

$${\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=-\lambda ,$$

con $\lambda >0$$\lambda >0$. Ma:

$${\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=-\lambda \Rightarrow \rho ^{2}{\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+\rho {\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+\lambda \rho ^{2}=-{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=n^{2},$$

$${\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=-\lambda \Rightarrow \rho ^{2}{\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+\rho {\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+\lambda \rho ^{2}=-{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=n^{2},$$

dunque $\rho ^{2}{\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+\rho {\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+\lambda \rho ^{2}-n^{2}=0$$\rho ^{2}{\frac {R''(\rho )}{R(\rho )}}+\rho {\frac {R'(\rho )}{R(\rho )}}+\lambda \rho ^{2}-n^{2}=0$, cioe'$R''(\rho )+{\frac {1}{\rho }}R'(\rho )+\left(\lambda -{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R(\rho )=0,$$R''(\rho )+{\frac {1}{\rho }}R'(\rho )+\left(\lambda -{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R(\rho )=0,$ con $\rho \in (0,1)$$\rho \in (0,1)$. Questa e' un'equazione di Bessel; una generica equazione di Bessel ha la forma:

$$x^{2}y''(x)+xy'(x)+(x^{2}-p^{2})y(x)=0,$$

$$x^{2}y''(x)+xy'(x)+(x^{2}-p^{2})y(x)=0,$$

con $p\geq 0$$p\ge 0$. Ci occupiamo solo del caso $p=0$$p=0$. Con un cambio di variabili ci riconduciamo a un'equazione del tipo:

$$x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0,$$

$$x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0,$$

con $p,q\in \mathbb {R}$$p,q\in \mathbb {R}$ (detta equazione equi-indiciale di Eulero). Ponendo $z=\ln(x)$$z=\ln(x)$, si ha ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dz}}$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dz}$ e ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {dy}{dz}}{\frac {1}{x^{2}}}$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dz^2}\frac{1}{x^2}-\frac{dy}{dz}\frac{1}{x^2}$ e quindi:

$$y''(z)+(p-1)y'(z)+qy(z)=0.$$

$$y''(z)+(p-1)y'(z)+qy(z)=0.$$

L'equazione caratteristica e'$\lambda ^{2}+(p-1)\lambda +q=0$$\lambda ^{2}+(p-1)\lambda +q=0$; supponendo che $(p-1)^{2}-4q^{2}>0$$(p-1)^2-4q^2>0$, ho due soluzioni distinte e reali $\lambda _{1},\lambda _{2}$$\lambda _{1},\lambda _{2}$, che mi danno una soluzione generale del tipo:

$$y(z)=c_{1}e^{\lambda _{1}z}+c_{2}e^{\lambda _{2}z},$$

$$y(z)=c_{1}e^{\lambda _{1}z}+c_{2}e^{\lambda _{2}z},$$

che riportata in funzione di $x$$x$:

$$y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}.$$

$$y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}.$$

Se invece il discriminante e'$0$$0$, la soluzione generale e':

$$y(x)=c_{1}x^{\lambda }+c_{2}(\ln(x))x^{\lambda }.$$

$$y(x)=c_{1}x^{\lambda }+c_{2}(\ln(x))x^{\lambda }.$$

Nel caso generale, l'equazione e':

$${\begin{cases}y''(x)+P(x)y'(x)+Q(x)y(x)=0\\y(x_{0})=y_{0}\\y'(x_{0})y_{1}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}y''(x)+P(x)y'(x)+Q(x)y(x)=0\\y(x_{0})=y_{0}\\y'(x_{0})y_{1}\end{cases}}$$

con $P(x),Q(x)\in C^{0}$$P(x),Q(x)\in C^0$. Per Cauchy-Lipschitz la soluzione esiste ed e' unica, e la soluzione generale sara' del tipo $y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ con $y_{1}(x),y_{2}(x)$$y_1(x),y_2(x)$ soluzioni particolari linearmente indipendenti.