In questa sezione ci occuperemo di risolvere l'equazione della corda vibrante, definita da:

Vogliamo capire per quali condizioni iniziali

esiste la soluzione e se e' unica.
Le funzioni
risolvono l'equazione; dunque ogni serie della forma:

per certi

la soddisfano. All'istante

la funzione precedente diventa:

Ma quali funzioni

si possono scrivere in questa forma?
Proviamo a risolvere l'equazione separando le variabili; scriviamo dunque
. Sostituendo si ha:

Ma la due funzioni uguagliate sono in variabili diverse, dunque:

per un certo

. Ci siamo dunque ricondotti a studiare il sistema:

in quanto vogliamo che la corda sia fissata alle estremita'. Supponiamo d'ora in poi

.
Vediamo che

. Infatti:

ma integrando per parti:
![{\displaystyle \underbrace {[X'(x)X(x)]_{-\pi }^{\pi }} _{=0}-\int _{-\pi }^{\pi }{(X'(x))^{2}dx}+\lambda \int _{-\pi }^{\pi }{X(x)^{2}dx}=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/cde71a178747171ed4cd0b0a2464e1652eef61bc)
in quanto

, quindi

perche' quoziente di due numeri positivi.
Alla fine l'equazione caratteristica e'

, le cui radici sono

, che portano a una soluzione:

a cui imponendo le condizioni iniziali diventa:

dove

in quanto

, con

, e dunque

. Dunque l'equazione e' risolubile solo nel caso in cui

sia un quadrato.
Mettiamoci ora nel caso generale in cui non si possono separare le variabili; se supponiamo che la soluzione sia esprimibile con la sua serie di Fourier:

allora ci riconduciamo a risolvere:

Sostituendo le serie:

da cui ogni coefficiente e'

perche'

e' base, cioe' abbiamo dei sistemi ordinari:

La soluzione di questo sistema e':

per

, mentre per

la soluzione e' banalmente

.
Quindi ci rimane da studiare la convergenza della somma:

Se avessimo che:

allora avremmo che la serie convergerebbe assolutamente a una funzione in

che sarebbe la soluzione voluta.
Se

e

, abbiamo queste convergenze, che ci permettono di scrivere la soluzione dell'equazione della corda:

Proposizione (16)
Nelle ipotesi appena poste, la soluzione dell'equazione della corda e' unica.
Dimostrazione
Supponiamo che ce ne siano due,
e
; si
.
e' una funzione periodica sul toro che soddisfa:

Allora

, da cui integrando per parti:

quindi ho che la somma di due numeri positivi e'

, cioe':

quindi la somma fra parentesi e' costante:

percio'

e

, cioe'

, ma essendo

all'inizio e'

sempre.
Consideriamo ora il caso bidimensionale, cioe' consideriamo una membrana
fissata al bordo
libera di vibrare.
Supponiamo che
e cerchiamo una funzione
che in ogni momento
indichi l'altezza del punto
.
Passiamo in coordinate polari:

Dunque ho che
![{\displaystyle u=u(t,\rho ,\theta ):\mathbb {R} \times [0,1]\times \mathbb {T} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/613f2c40353fd23def8523ff5f6f553aab19b0b5)
, con


.
L'equazione da risolvere (analogamente al caso 1-dimensionale) e':

dunque calcoliamo:

dunque:

Separiamo le variabili e supponiamo che

.
Con passaggi simili al caso 1-dimensionale si ottiene:

con

.
Ma:

dunque

, cioe'

con

.
Questa e' un'equazione di Bessel; una generica equazione di Bessel ha la forma:

con

. Ci occupiamo solo del caso

.
Con un cambio di variabili ci riconduciamo a un'equazione del tipo:

con

(detta equazione equi-indiciale di Eulero). Ponendo

, si ha

e

e quindi:

L'equazione caratteristica e'

; supponendo che

, ho due soluzioni distinte e reali

, che mi danno una soluzione generale del tipo:

che riportata in funzione di

:

Se invece il discriminante e'

, la soluzione generale e':

Nel caso generale, l'equazione e':

con

. Per Cauchy-Lipschitz la soluzione esiste ed e' unica, e la soluzione generale sara' del tipo

con

soluzioni particolari linearmente indipendenti.