Altre equazioni di interesse

Oltre le equazioni di Maxwell, ci sono delle altre equazioni utili per l'elettromagnetismo.

È possibile calcolare la divergenza di entrambi i membri dell'equazione di Ampère-Maxwell:

.

La divergenza di un rotore è sempre nulla, perciò, l'equazione diventa semplicemente:, essendo la divergenza e la derivata temporale commutativi, si può scrivere , che per la legge di Gauss elettrica diventa: . Questa equazione è detta equazione di continuità e in pratica ha il significato di conservazione della carica: la corrente che esce da un volume è uguale alla diminuzione della carica elettrica interna al volume.

Un' altra equazione interessante è la forza di Lorentz. Una particella di carica che si muove a velocità immersa in un campo elettromagnetico è soggetta ad una forza: . Può anche essere utile considerare una sorta di densità di forza , definita rispetto a un volumetto di densità di carica : . Tra ed esiste naturalmente una relazione di tipo integrale: .

Nel vuoto, le relazioni tra i vettori , e i vettori , diventano:

e , dove e sono rispettivamente la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto.

Dove vale la relazione , in cui è la velocità della luce nel vuoto.

Considerando una zona nel vuoto, senza sorgenti, cioè e , le equazioni di Maxwell diventano:

.

Data una funzione vettoriale , si può dimostrare che: .

Applicando quindi il rotore nelle prime due equazioni in cui compare il rotore, si ha:

che, sostituendo le equazioni di Maxwell scritte sopra, diventa:

.

Portando tutto ad un solo membro, si ottengono le due equazioni di D'Alembert:

.

La soluzione di queste due equazioni è un'onda, da cui si evince che i campi si propagano nel vuoto come onde.

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