Cinematica Relativistica

Come abbiamo accennato nel precedente paragrafo, possiamo descrivere le linee di universo come funzioni del tempo proprio . Ora iniziamo a fare considerazioni di meccanica relativistica, introducendo le grandezze fondamentali con le quali si studiano eventi nello spazio di Minkowsky. Breve precisazione di notazione: l'indice sulle coordinate dei quadrivettori indica tutte le coordinate, quindi , al contrario, l'indice indica solo le coordinate spaziali, ovvero .

Definizione (Quadrivelocità)

Siano le coordinate di un quadrivettore , si definisce quadrivelocità:

 

Notiamo che la quadrivelocità non può essere di genere spazio: se così fosse, infatti, avremmo che la sua norma , supera la velocità della luce, e non è possibile. Risulta quindi essere un vettore di tipo tempo e, quindi, interno al cono di luce.

Data la velocità classica di coordinate , scriviamoci le coordinate del vettore in funzione di queste. Ricordiamo la relazione delle trasformazioni di Lorentz:

Da questo, sostituendo il valore trovato di nella definizione di quadrivelocità, otteniamo:

Inoltre, la norma quadra della quadrivelocità risulta essere costante:

Come anticipato, quindi, la norma quadra è costante, positiva, e quindi la quadrivelocità è un vettore di genere tempo in ogni sistema di riferimento inerziale.

La scelta di definire la quadrivelocità è portata dall'utilizzo delle trasformazioni di Lorentz. La matrice di trasformazione, infatti, è una matrice , mentre la velocità classica è un vettore in tre coordinate spaziali. Inoltre, la comodità di lavorare in uno spazio quadri-dimensionale rende comodo lo studio di come variano tempo e spazio lungo tutto lo spazio.

Definizione (Quadriaccelerazione)

Si definisce il vettore quadriaccelerazione:

 

Notiamo che, posto , possiamo esplicitare le componenti della quadriaccelerazione:

Fa un po' schifo scritta così, effettivamente. In relatività, si usa passare a due parametri noti, e , che valgono:

Utilizzando questi parametri, l'espressione qui sopra può essere scritta in forma più elegante (come molte altre espressioni della teoria).

Paradosso dei gemelli[modifica | modifica wikitesto]

Il paradosso dei gemelli è un semplice esperimento mentale proposto da Einstein. Alla luce di ciò che abbiamo detto finora, potrà essere chiaro.

Il problema è semplice: due gemelli vengono messi su due astronavi e sottoposti agli stessi effetti accelerativi (ovvero subiscono le stesse variazioni di velocità), solo che uno dei due trascorre nello spazio più tempo, viaggiando a velocità più elevate di quelle della Terra. Quindi, un gemello atterra prima dell'altro e, una volta arrivati entrambi a terra, confrontano i loro tempi propri: il risultato finale è che, essendo stato uno dei due più tempo nello spazio a velocità elevate, questo sarà più giovane del fratello.

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