Operatori differenziali

Trattiamo meglio, in questa sezione, degli operatori differenziali principali.

Gradiente

Il gradiente di un campo scalare $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ è definito a partire dalla minima variazione del campo. Preso un punto $\mathbf {P} (x,y,z)$$\mathbf {P} (x,y,z)$ dello spazio, si compie un spostamento infinitesimo $\mathbf {P} +d\mathbf {l}$$\mathbf {P} +d\mathbf {l}$ dove $d\mathbf {l} =(dx,dy,dz)$$d\mathbf {l} =(dx,dy,dz)$; la funzione varierà di un fattore $f+df$$f+df$, e vogliamo rendere esplicito questo aumento. L'infinitesimo di funzione vale $df=f(x+dx,y+dy,z+dz)$$df=f(x+dx,y+dy,z+dz)$ e, per il teorema del differenziale totale, è anche scrivibile come:

$$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$$

$$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$$

Si introduce quindi il concetto di gradiente, ovvero quel vettore tale che $df={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot d\mathbf {l}$$df={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot d\mathbf {l}$, da cui si ottiene:

$${\boldsymbol {\nabla }}f={\frac {df}{d\mathbf {l} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$$

$${\boldsymbol {\nabla }}f={\frac {df}{d\mathbf {l} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$$

L'operatore differenziale gradiente ha quindi come componenti le derivate parziali del campo:

$${\boldsymbol {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$$

$${\boldsymbol {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$$

Sotto opportuni cambi di variabile, è possibile esprimere questo operatore in un differente set di coordinate. Pensiamo di voler passare alle coordinate sferiche:

$${\begin{cases}&x=r\,\sin \theta \,\cos \phi \\&y=r\,\sin \theta \,\sin \phi \\&z=r\,\cos \phi \end{cases}}\quad {\begin{cases}&r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\phi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\&\theta =\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\end{cases}}$$

$${\begin{cases}&x=r\,\sin \theta \,\cos \phi \\&y=r\,\sin \theta \,\sin \phi \\&z=r\,\cos \phi \end{cases}}\quad {\begin{cases}&r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\phi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\&\theta =\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\end{cases}}$$

Come esprimiamo il gradiente in coordinate sferiche? Scriviamo lo spostamento infinitesimo lungo la sfera; lo jacobiano della trasformazione è $r^{2}\sin \theta$$r^{2}\sin \theta$:

$$d\mathbf {l} =(dr,rd\theta ,r\sin \theta d\phi )$$

$$d\mathbf {l} =(dr,rd\theta ,r\sin \theta d\phi )$$

Applicando la definizione di gradiente, abbiamo che:

$$df={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot d\mathbf {s} =({\boldsymbol {\nabla }}f)_{r}dr+({\boldsymbol {\nabla }}f)_{\theta }rd\theta +({\boldsymbol {\nabla }}f)_{\phi }r\sin \theta d\phi ={\frac {\partial f}{\partial r}}dr+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial f}{\partial \phi }}d\phi$$

$$df={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot d\mathbf {s} =({\boldsymbol {\nabla }}f)_{r}dr+({\boldsymbol {\nabla }}f)_{\theta }rd\theta +({\boldsymbol {\nabla }}f)_{\phi }r\sin \theta d\phi ={\frac {\partial f}{\partial r}}dr+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial f}{\partial \phi }}d\phi$$

Otteniamo il gradiente in coordinate sferiche:

$${\boldsymbol {\nabla }}_{\text{sferiche}}=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

$${\boldsymbol {\nabla }}_{\text{sferiche}}=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)$$

Lo stesso discorso può essere utilizzato per le coordinate cilindriche o un qualsiasi altro tipo di coordinate.

Gradiente per campi radiali

È utile, in vista dello studio del campo elettrico, trattare qui i campi radiali, in particolare le operazioni differenziali con questi. Da un rapido calcolo (valido sia in coordinate euclidee che sferiche) si ottiene:

$${\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)=-{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}=-{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)=-{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}=-{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$$

Ricordando che $r=|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$r=|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, è altrettanto veloce verificare che

$${\boldsymbol {\nabla }}(r)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{r}};{\frac {y}{r}};{\frac {z}{r}}\right)={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}$$

$${\boldsymbol {\nabla }}(r)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{r}};{\frac {y}{r}};{\frac {z}{r}}\right)={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}$$

Da questa otteniamo l'importante relazione riguardo un qualsiasi campo scalare che ha dipendenza radiale ${\boldsymbol {\nabla }}f(r)={\frac {df}{dr}}{\hat {r}}$${\boldsymbol {\nabla }}f(r)={\frac {df}{dr}}{\hat {r}}$. In generale, vale:

$${\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{r^{n}}}\right)=-{\frac {n}{r^{n+1}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-n{\frac {\mathbf {r} }{r^{n+2}}}$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{r^{n}}}\right)=-{\frac {n}{r^{n+1}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-n{\frac {\mathbf {r} }{r^{n+2}}}$$

Divergenza

La divergenza è definita come il prodotto scalare tra operatore gradiente e campo vettoriale; la divergenza di un campo vettoriale è un campo scalare:

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\in \mathbb {R}$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\in \mathbb {R}$$

Per la divergenza valgono semplici regole:

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {n} +\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \\&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (f\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot \mathbf {v} +f({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {n} +\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \\&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (f\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot \mathbf {v} +f({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\end{aligned}}$$

Se la divergenza è non nulla, le linee di campo convergono o divergono; non deve trarre in inganno in quanto la divergenza è legata alla disuniformità con cui le linee divergono: se le linee di campo sono parallele ma aumentano o diminuiscono di intensità, la divergenza è non nulla. Ovviamente, se sono costanti in tutto lo spazio, la divergenza è nulla.

I campi interessanti sono quelli a divergenza nulla, chiamati campi solenoidali. Per questi campi, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa orientata è sempre nullo; questa è una conseguenza del teorema di Gauss-Green:

$$\int _{\partial \tau }\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )d\tau$$

$$\int _{\partial \tau }\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )d\tau$$

Anche la divergenza può essere calcolata in coordinate sferiche; in questo caso assume la seguente forma:

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}v_{r})+{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,v_{\theta })+{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{\phi })$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}v_{r})+{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,v_{\theta })+{\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{\phi })$$

Rotore

Il rotore è definito come il prodotto vettoriale tra l'operatore gradiente e il campo vettoriale; risulterà quidi essere un campo vettoriale a sua volta.

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\det {\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}};{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}};{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}\right)$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\det {\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}};{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}};{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}\right)$$

Il rotore indica la tendenza delle linee di campo a ruotare attorno a una direzione; anche stavolta questa affermazione non deve trarre in inganno: un campo vettoriale le cui linee di campo sono parallele, ma hanno versi opposti nello spazio, ha un rotore non nullo.

Il campo vettoriale ${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\mathbf {u}$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\mathbf {u}$ è sempre un campo solenoidale: infatti la divergenza di un rotore risulta sempre nulla, ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )=0$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )=0$. Per il rotore vale il teorema di Stokes:

$$\oint _{\Gamma }\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS$$

$$\oint _{\Gamma }\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS$$

I campi per i quali il rotore è sempre nullo si dicono conservativi; questi possono essere scritti, proprio applicando il teorema di Stokes, come il gradiente di un campo scalare chiamato potenziale:

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =0\quad \Rightarrow \,\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =0\quad \Rightarrow \,\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f$$

Anche il rotore possiamo scriverlo in coordinate sferiche:

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\left({\frac {1}{r\,\sin \theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,v_{\phi })-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{\theta })\right];\,{\frac {1}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{r})-{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\phi })\right];\,{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v_{r})\right]\right)$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\left({\frac {1}{r\,\sin \theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,v_{\phi })-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{\theta })\right];\,{\frac {1}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(v_{r})-{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\phi })\right];\,{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v_{r})\right]\right)$$

Lo studio della divergenza e del rotore di un campo non è fatto a caso. Esiste infatti un teorema che afferma che, se sono noti la divergenza e il rotore di un campo vettoriale, sotto opportune condizioni, è determinato il campo stesso. Questo è il succo del teorema di Helmholtz che dimostriamo nelle appendici.