Più dielettrici nello spazio e condizioni di raccordo

Condizioni di raccordo

Ci chiediamo adesso cosa accade quando sono presenti più dielettrici nello spazio. Poiché non avremo un dielettrico che occupa tutto lo spazio utile, non potremo considerare ${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {D} =0$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {D} =0$, ma avremo a che fare con le due equazioni:

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho \\&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho \\&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =0\end{aligned}}$$

Queste equazioni, in aggiunta a varie condizioni simmetriche, ci permetteranno di risolvere i nostri problemi nello spazio. Tuttavia, non valgono lungo le superfici di separazione tra i dielettrici. In quel caso, siamo un po' limitati. Sappiamo però, come sempre, come muoverci: dobbiamo trovare un potenziale che risolvi l'equazione di Poisson, solo che questa funzione dovrà rispettare le condizioni di raccordo, ovvero le condizioni che descrivono come variano le componenti tangenti e normali dei campi $\mathbf {D}$$\mathbf{D}$ e $\mathbf {E}$$\mathbf{E}$ alla superficie di separazione tra i dielettrici.

Fig. 4.5

Per poter ricavare queste condizioni di raccordo, sfruttiamo le forme integrali delle equazioni di Maxwell. Consideriamo due dielettrici e la superficie di separazione tra essi; avremo $\epsilon _{r1}$$\epsilon _{r1}$ e il campo $\mathbf {D} _{1}$$\mathbf {D} _{1}$ in un dielettrico e $\epsilon _{r2}$$\epsilon _{r2}$ col campo $\mathbf {D} _{2}$$\mathbf {D} _{2}$ nell'altro dielettrico. Saranno inoltre presenti le cariche di polarizzazione; per semplicità, consideriamo che non ci sono cariche libere nei dielettrici.

Per calcolare il campo spostamento, sfruttiamo il teorema di Gauss: avremo, per una qualsiasi superficie, $\Phi _{s}(\mathbf {D} )=\int _{S}\mathbf {D} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=Q_{\text{int}}^{\text{libera}}=0$$\Phi _{s}(\mathbf {D} )=\int _{S}\mathbf {D} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=Q_{\text{int}}^{\text{libera}}=0$. La stessa cosa non si può dire del campo elettrico: infatti, poiché saranno presenti le cariche di polarizzazione, avremo $\Phi _{S}(\mathbf {E} \neq 0$$\Phi _{S}(\mathbf {E} \neq 0$. Allora, prendiamo come superficie una scatola di altezza $dh<<dS$$dh<<dS$ che sia posta sulla superficie di separazione tra i dielettrici; i vettori uscenti alla scatola saranno ${\hat {\mathbf {n} }}_{1}$${\hat {\mathbf {n} }}_{1}$ da un lato e ${\hat {\mathbf {n} }}_{2}$${\hat {\mathbf {n} }}_{2}$ dall'altra, e saranno entrambi paralleli al versore normale alla superficie di separazione ${\hat {\mathbf {n} }}$${\hat {\mathbf {n} }}$, uno di verso concorde e uno di verso discorde (figura 4.5). Il flusso, allora, sarà:

$$\Phi _{S}(\mathbf {D} )=\mathbf {D} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{1}\,dS+\mathbf {D} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\,dS=(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=(D_{1n}-D_{2n})dS=0$$

$$\Phi _{S}(\mathbf {D} )=\mathbf {D} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{1}\,dS+\mathbf {D} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\,dS=(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=(D_{1n}-D_{2n})dS=0$$

Da cui ricaviamo che le componenti normali dei campi spostamenti non variano passando da un dielettrico a un altro $D_{1n}=D_{2n}$$D_{1n}=D_{2n}$. Siccome $\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$, possiamo ricavare le componenti normali dei due campi elettrici, che stavolta varieranno, e avremo $\epsilon _{r1}E_{1n}=\epsilon _{r2}E_{2n}$$\epsilon _{r1}E_{1n}=\epsilon _{r2}E_{2n}$.

Per lo componenti tangenti alla superficie sfruttiamo la terza equazione di Maxwell, ${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =0$${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =0$, utilizzando lo stesso procedimento sfruttato nel teorema di Coulomb (vedere figura 3.8 per riferimenti: è identica a questo caso); avremo che la circuitazione del campo elettrico sulla curva sarà nullo, quindi:

$$\oint _{\Gamma }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\mathbf {E} _{1}\cdot d\mathbf {l} +\mathbf {E} _{2}\cdot d\mathbf {l} =(E_{1t}-E_{2t})dl=0$$

$$\oint _{\Gamma }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\mathbf {E} _{1}\cdot d\mathbf {l} +\mathbf {E} _{2}\cdot d\mathbf {l} =(E_{1t}-E_{2t})dl=0$$

Quindi otteniamo che $E_{1t}=E_{2t}$$E_{1t}=E_{2t}$, ovvero le componenti tangenti del campo elettrico restano costanti nel passaggio da un dielettrico a un altro. Ricordando sempre la relazione tra campo elettrico e spostamento, avremo che $\epsilon _{r2}D_{1t}=\epsilon _{r1}D_{2t}$$\epsilon _{r2}D_{1t}=\epsilon _{r1}D_{2t}$, quindi in questo caso a variare saranno le componenti tangenti dello spostamento. Per riassumere in breve:

$${\begin{aligned}&D_{1n}=D_{2n}\\&{\frac {E_{1n}}{E_{2n}}}={\frac {\epsilon _{r2}}{\epsilon _{r1}}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&{\frac {D_{1t}}{D_{2t}}}={\frac {\epsilon _{r1}}{\epsilon _{r2}}}\\&E_{1t}=E_{2t}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&D_{1n}=D_{2n}\\&{\frac {E_{1n}}{E_{2n}}}={\frac {\epsilon _{r2}}{\epsilon _{r1}}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&{\frac {D_{1t}}{D_{2t}}}={\frac {\epsilon _{r1}}{\epsilon _{r2}}}\\&E_{1t}=E_{2t}\end{aligned}}$$

In particolare, l'espressione per le componenti normali del campo elettrico assomiglia vagamente alla legge di diffrazione per onde. In effetti, esplicitando $E_{1n}=E_{1}\cos \theta _{1}$$E_{1n}=E_{1}\cos \theta _{1}$ e $E_{1t}=E_{1}\sin \theta _{2}$$E_{1t}=E_{1}\sin \theta _{2}$, otteniamo:

$${\frac {E_{1t}}{\epsilon _{r1}E_{1n}}}={\frac {E_{2t}}{\epsilon _{r1}E_{2n}}}\to {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}={\frac {\epsilon _{r1}}{\epsilon _{r2}}}$$

$${\frac {E_{1t}}{\epsilon _{r1}E_{1n}}}={\frac {E_{2t}}{\epsilon _{r1}E_{2n}}}\to {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}={\frac {\epsilon _{r1}}{\epsilon _{r2}}}$$

Questa è la legge di diffrazione per le linee di forza del campo elettrico; in particolare, facendo variare le costanti dielettriche, si possono convogliare fasci di linee di forza in spazi piccolissimi: alla base del principio delle fibre ottiche c'è proprio la teoria dei materiali e della propagazione nei mezzi.

Condensatori con più dielettrici

Fig. 4.6

Vediamo ora cosa succede quando abbiamo condensatori con più dielettrici al loro interno. Consideriamo prima il sistema in figura 4.6: un condensatore piano, carico e isolato, con due dielettrici con superficie di separazione uguale e parallela alle armature. Calcoliamone la capacità $C$$C$, le cariche di polarizzazione $\sigma _{p},\rho _{p}$$\sigma _{p},\rho _{p}$ e i vettori $\mathbf {D} ,\mathbf {E} ,\mathbf {P}$$\mathbf {D} ,\mathbf {E} ,\mathbf {P}$.

Per calcolare la differenza di potenziale $\Delta V$$\Delta V$, ci calcoliamo prima il campo elettrico e poi lo integriamo sulla perpendicolare alle armature. Come ci aspettiamo che sia il campo elettrico? Dalle condizioni di raccordo sappiamo che $E_{1t}=E_{2t}$$E_{1t}=E_{2t}$, ma in un condensatore nel vuoto il campo elettrico è ortogonale alle armature; se consideriamo che, tra le armature e i dielettrici, c'è un piccolissimo tratto di vuoto (ricordiamo che il vuoto è un dielettrico di costante $\epsilon _{r}=1$$\epsilon _{r}=1$), il campo passerà dal vuoto al dielettrico mantenendo costante la sua componente tangente. Peccato che la componente tangente è nulla, quindi avremo che il campo elettrico sarà ortogonale alle superfici. Di conseguenza, essendo i campi $\mathbf {D}$$\mathbf{D}$ e $\mathbf {P}$$\mathbf {P}$ paralleli al campo elettrico, anche questi saranno ortogonali alle armature. Per calcolare il campo spostamento, ricordiamo che le sue componenti normali sono continue $D_{1n}=D_{2n}$$D_{1n}=D_{2n}$, ma in questo caso le componenti normali corrispondo al campo stesso, quindi avremo $\mathbf {D} _{1}=\mathbf {D} _{2}=\sigma \,{\hat {\mathbf {n} }}$$\mathbf {D} _{1}=\mathbf {D} _{2}=\sigma \,{\hat {\mathbf {n} }}$. Da questo ricaviamo subito il campo elettrico:

$$\mathbf {E} ={\frac {\mathbf {D} }{\epsilon }}=\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {E} _{1}={\frac {\sigma }{\epsilon _{1}}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {Q}{\epsilon _{1}S}}{\hat {\mathbf {n} }}\\&\mathbf {E} _{2}={\frac {\sigma }{\epsilon _{2}}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {Q}{\epsilon _{2}S}}{\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}\right.$$

$$\mathbf {E} ={\frac {\mathbf {D} }{\epsilon }}=\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {E} _{1}={\frac {\sigma }{\epsilon _{1}}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {Q}{\epsilon _{1}S}}{\hat {\mathbf {n} }}\\&\mathbf {E} _{2}={\frac {\sigma }{\epsilon _{2}}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {Q}{\epsilon _{2}S}}{\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}\right.$$

Quindi otteniamo direttamente il potenziale:

$$\Delta V=\int _{A}^{B}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =E_{1}d_{1}+E_{2}d_{2}={\frac {q}{\epsilon _{0}S}}\left({\frac {d_{1}}{\epsilon _{r1}}}+{\frac {d_{2}}{\epsilon _{r2}}}\right)={\frac {Q}{\epsilon _{0}\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}}}{\frac {1}{S}}(d_{1}\epsilon _{r2}+d_{2}\epsilon _{r1})$$

$$\Delta V=\int _{A}^{B}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =E_{1}d_{1}+E_{2}d_{2}={\frac {q}{\epsilon _{0}S}}\left({\frac {d_{1}}{\epsilon _{r1}}}+{\frac {d_{2}}{\epsilon _{r2}}}\right)={\frac {Q}{\epsilon _{0}\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}}}{\frac {1}{S}}(d_{1}\epsilon _{r2}+d_{2}\epsilon _{r1})$$

La capacità la otteniamo direttamente calcolando $C={\frac {Q}{\Delta V}}$$C={\frac {Q}{\Delta V}}$. Osserviamo che la capacità del condensatore è la stessa di una serie di condensatori, con capacità $C_{1}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {S}{d_{1}}}$$C_{1}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {S}{d_{1}}}$ e $C_{2}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}{\frac {S}{d_{2}}}$$C_{2}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}{\frac {S}{d_{2}}}$. Calcolando la resistenza in serie come ${\frac {1}{C_{s}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}$${\frac {1}{C_{s}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}$, potrete verificare che i conti tornando.

Passiamo ora a calcolare le cose che restano: la polarizzazione $\mathbf {P} =\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E}$$\mathbf {P} =\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E}$ è gratis. Le cariche di polarizzazione, quindi, le ricaviamo $\rho _{p}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} =0$$\rho _{p}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} =0$ perché la polarizzazione è costante in tutti i dielettrici (e non ci sono cariche libere all'interno di questi), mentre la densità superficiale $\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\mp {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\sigma$$\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\mp {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\sigma$, posizionata come in figura 4.6. Possiamo anche calcolare la carica totale situata nella zona di confine tra i dielettrici:

$$\sigma _{p}^{\text{tot}}=\sigma _{p1}-\sigma _{p2}=\left(1-{\frac {1}{\epsilon _{r1}}}\right){\frac {Q}{S}}-\left(1-{\frac {1}{\epsilon _{r2}}}\right){\frac {Q}{S}}={\frac {\epsilon _{r1}-\epsilon _{r2}}{\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}}}{\frac {Q}{S}}$$

$$\sigma _{p}^{\text{tot}}=\sigma _{p1}-\sigma _{p2}=\left(1-{\frac {1}{\epsilon _{r1}}}\right){\frac {Q}{S}}-\left(1-{\frac {1}{\epsilon _{r2}}}\right){\frac {Q}{S}}={\frac {\epsilon _{r1}-\epsilon _{r2}}{\epsilon _{r1}\epsilon _{r2}}}{\frac {Q}{S}}$$

Fig. 4.7

Cambiamo totalmente sistema e passiamo ora a considerare un condensatore piano, carico e isolato, con i dielettrici situati in modo tale che la loro superficie di separazione sia normale alle armature (figura 4.7). Se, nel caso precedente, la capacità del sistema era equivalente a quella di una serie di condensatori, in questo caso sarà equivalente a due condensatori in parallelo. Per comodità, consideriamo che i dielettrici dividono esattamente a metà il volume tra le armature.

Anche in questo sistema il campo elettrico sarà normale alle armature (per lo stesso ragionamento precedente); poiché è quindi parallelo alla superficie di separazione, per la condizione di raccordo $E_{1t}=E_{2t}$$E_{1t}=E_{2t}$ concludiamo che il campo elettrico è lo stesso nei due dielettrici e, quindi, il potenziale sarà lo stesso. Posto $\Delta V=Eh$$\Delta V=Eh$, avremo che le due capacità saranno $C_{1}={\frac {Q_{1}}{\Delta V}}$$C_{1}={\frac {Q_{1}}{\Delta V}}$ con $Q_{1}=\sigma _{1}{\frac {S}{2}}$$Q_{1}=\sigma _{1}{\frac {S}{2}}$ e $C_{2}={\frac {Q_{2}}{\Delta V}}$$C_{2}={\frac {Q_{2}}{\Delta V}}$ con $Q_{2}=\sigma _{2}{\frac {S}{2}}$$Q_{2}=\sigma _{2}{\frac {S}{2}}$. I campi elettrici dipenderanno sia dalle cariche di polarizzazione che da quelle libere:

$${\begin{aligned}&E_{1}={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{p1}}{\epsilon _{0}}}\quad E_{2}={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{p2}}{\epsilon _{0}}}\\&\sigma _{1}=\epsilon _{0}E_{1}+\sigma _{p1}\quad \sigma _{2}=\epsilon _{0}E_{2}+\sigma _{p2}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&E_{1}={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{p1}}{\epsilon _{0}}}\quad E_{2}={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{p2}}{\epsilon _{0}}}\\&\sigma _{1}=\epsilon _{0}E_{1}+\sigma _{p1}\quad \sigma _{2}=\epsilon _{0}E_{2}+\sigma _{p2}\end{aligned}}$$

Per le cariche di polarizzazione sfruttiamo $\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1){\frac {\Delta V}{h}}{\hat {\mathbf {h} }}$$\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1){\frac {\Delta V}{h}}{\hat {\mathbf {h} }}$; andando a sostituire:

$$\sigma _{1}=\epsilon _{0}{\frac {\Delta V}{h}}+\epsilon _{0}(\epsilon _{r1}-1){\frac {\Delta V}{h}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {\Delta V}{h}}\quad \sigma _{2}=\epsilon _{0}{\frac {\Delta V}{h}}+\epsilon _{0}(\epsilon _{r2}-1){\frac {\Delta V}{h}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r2}{\frac {\Delta V}{h}}$$

$$\sigma _{1}=\epsilon _{0}{\frac {\Delta V}{h}}+\epsilon _{0}(\epsilon _{r1}-1){\frac {\Delta V}{h}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {\Delta V}{h}}\quad \sigma _{2}=\epsilon _{0}{\frac {\Delta V}{h}}+\epsilon _{0}(\epsilon _{r2}-1){\frac {\Delta V}{h}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r2}{\frac {\Delta V}{h}}$$

La carica totale su un'armatura sarà $Q=Q_{1}+Q_{2}=\sigma _{1}S_{1}+\sigma _{2}S_{2}$$Q=Q_{1}+Q_{2}=\sigma _{1}S_{1}+\sigma _{2}S_{2}$, ovvero:

$$Q=\sigma _{1}{\frac {S}{2}}+\sigma _{2}{\frac {S}{2}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {\Delta V}{h}}{\frac {S}{2}}+\epsilon _{0}\epsilon _{r2}{\frac {\Delta V}{h}}{\frac {S}{2}}=\left({\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r1}}{h}}{\frac {S}{2}}+{\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r2}}{h}}{\frac {S}{2}}\right)\Delta V$$

$$Q=\sigma _{1}{\frac {S}{2}}+\sigma _{2}{\frac {S}{2}}=\epsilon _{0}\epsilon _{r1}{\frac {\Delta V}{h}}{\frac {S}{2}}+\epsilon _{0}\epsilon _{r2}{\frac {\Delta V}{h}}{\frac {S}{2}}=\left({\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r1}}{h}}{\frac {S}{2}}+{\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r2}}{h}}{\frac {S}{2}}\right)\Delta V$$

La capacità totale del sistema è quindi:

$$C={\frac {Q}{\Delta V}}={\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r1}}{h}}{\frac {S}{2}}+{\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r2}}{h}}{\frac {S}{2}}$$

$$C={\frac {Q}{\Delta V}}={\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r1}}{h}}{\frac {S}{2}}+{\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r2}}{h}}{\frac {S}{2}}$$

Ovvero è la somma delle due singole capacità: il sistema è equivalente a due condensatori in parallelo.