Esercizi sui dipoli

Unitile dire che con i dipoli ci si possono fare tanti esercizi belli e carini. Vediamone alcuni

Esempio (3.1)

Fig. 3.5: Il modello dell'esempio 3.1

In questo esempio prendiamo come distribuzione di carica un anello carico, con densità di carica lineare variabile pari a $\lambda (\phi )=\lambda _{0}\sin(\phi )$$\lambda (\phi )=\lambda _{0}\sin(\phi )$, dove $\phi$$\phi$ è l'angolo formato dal raggio dell'anello $R$$R$ e l'asse ${\hat {\mathbf {x} }}$${\hat {\mathbf {x} }}$. In figura 3.5 è presentato il modello e una rappresentazione schematica di come si dispongono le cariche sull'anello. L'obiettivo dell'esercizio è calcolare campo elettrico e potenziale generati dall'anello a grande distanza, dove potremo utilizzare l'approssimazione di dipolo.

A tutti gli effetti, questo modello è un dipolo; da una parte ci sono le cariche positive, dall'altra quelle negative. Ci aspettiamo quindi che il suo momento di dipolo sia orientato parallelo all'asse ${\hat {\mathbf {y} }}$${\hat {\mathbf {y} }}$, e inoltre, per come è definita la densità $\lambda$$\lambda$, ci aspettiamo anche che la carica totale sia neutra. Partiamo da questa.

Poiché $Q=\oint \lambda \,dl=\int _{0}^{2\pi }\lambda (\phi )R\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\,d\phi =0$$Q=\oint \lambda \,dl=\int _{0}^{2\pi }\lambda (\phi )R\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\,d\phi =0$, il calcolo dell'integrale è elementare. Andiamo allora a calcolare il suo momento di dipolo. Osservando la figura, notiamo come $\delta =2y'=2R\sin \phi$$\delta =2y'=2R\sin \phi$, da cui otteniamo il momento di dipolo:

$$dp=\delta dq=2R\sin(\phi )\lambda (\phi )dl=2R\sin(\phi )\lambda _{0}\,R\sin(\phi )\,d\phi =2R^{2}\sin ^{2}(\phi )\lambda _{0}\,d\phi$$

$$dp=\delta dq=2R\sin(\phi )\lambda (\phi )dl=2R\sin(\phi )\lambda _{0}\,R\sin(\phi )\,d\phi =2R^{2}\sin ^{2}(\phi )\lambda _{0}\,d\phi$$

Integrando su tutto l'anello (attenzione: l'integrale va da $0$$0$ a $\pi$$\pi$, perché il sistema è simmetrico) otteniamo $p=\lambda _{0}\pi R^{2}$$p=\lambda _{0}\pi R^{2}$. Per calcolarne le componenti procediamo ognuna per ognuna:

$${\begin{aligned}&p_{z}=0{\text{ siamo sul piano }}z=0\\&p_{x}=\oint \lambda (\phi )x'\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\cos(\phi )R\,d\phi =0\\&p_{y}=\oint \lambda (\phi )y'\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\sin(\phi )R\,d\phi =\lambda _{0}\pi R^{2}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&p_{z}=0{\text{ siamo sul piano }}z=0\\&p_{x}=\oint \lambda (\phi )x'\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\cos(\phi )R\,d\phi =0\\&p_{y}=\oint \lambda (\phi )y'\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }\lambda _{0}\sin(\phi )R\sin(\phi )R\,d\phi =\lambda _{0}\pi R^{2}\end{aligned}}$$

Come ci aspettavamo, abbiamo ottenuto che il momento di dipolo è diretto parallelamente all'asse $y$$y$ ed è pari a $\mathbf {p} =(0,\lambda _{0}\pi R^{2},0)$$\mathbf {p} =(0,\lambda _{0}\pi R^{2},0)$. Per calcolare potenziale e campo elettrico di dipolo non resta che applicare le formule viste nella sezione 3.1:

$${\begin{aligned}&V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {p} }{r^{3}}}\right)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {p} }{r^{3}}}\right)\end{aligned}}$$

 

Esempio (3.2)

Fig. 3.6: Le due configurazioni del dipolo nell'esempio 3.2

Abbiamo un dipolo posizionato sull'asse ${\hat {\mathbf {x} }}$${\hat {\mathbf {x} }}$ in due configurazioni: configurazione A, il dipolo ha momento parallelo all'asse ${\hat {\mathbf {y} }}$${\hat {\mathbf {y} }}$, ovvero $\mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {y} }}$$\mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {y} }}$; configurazione B, il momento di dipolo è parallelo all'asse ${\hat {\mathbf {x} }}$${\hat {\mathbf {x} }}$, ovvero $\mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {x} }}$$\mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {x} }}$. Nell'origine è posizionata una carica positiva che genera un campo elettrico; tutto il sistema è posto a quota $z=0$$z=0$. Calcoliamo la forza e il momento che subisce il dipolo in entrambe le configurazioni. Fare riferimento alla figura 3.6.

Dalla sezione 3.1 sappiamo che $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )$$\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )$ e $\mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$$\mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$. Da una prima occhiata, poiché nella configurazione A la carica negativa è più vicina all'origine, possiamo dire che la forza attrarrà il dipolo verso la carica generatrice del campo. Viceversa, nella configurazione B le cariche si trovano alla stessa distanza dall'origine, quindi la forza sarà parallela al momento di dipolo, ovvero diretta lungo ${\hat {\mathbf {y} }}$${\hat {\mathbf {y} }}$. Calcoliamo la forza nella configurazione A:

$$\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\boldsymbol {\nabla }}\left(p{\hat {\mathbf {y} }}\cdot {\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\right)={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {y}{r^{3}}}\right)$$

$$\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\boldsymbol {\nabla }}\left(p{\hat {\mathbf {y} }}\cdot {\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\right)={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {y}{r^{3}}}\right)$$

(questo ricordando che ${\hat {\mathbf {y} }}\cdot \mathbf {r} =y$${\hat {\mathbf {y} }}\cdot \mathbf {r} =y$). Calcoliamo le componenti:

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {y\left(-{\frac {3}{2}}\right)\cdot 2x}{r^{5}}}=-{\frac {xy}{r^{5}}}\\&{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {y}{r^{3}}}=-3{\frac {zy}{r^{5}}}\\&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {r^{3}-y{\frac {3}{2}}\,2\,2y}{r^{6}}}={\frac {r^{2}-3y^{2}}{r^{5}}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {y\left(-{\frac {3}{2}}\right)\cdot 2x}{r^{5}}}=-{\frac {xy}{r^{5}}}\\&{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {y}{r^{3}}}=-3{\frac {zy}{r^{5}}}\\&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {r^{3}-y{\frac {3}{2}}\,2\,2y}{r^{6}}}={\frac {r^{2}-3y^{2}}{r^{5}}}\end{aligned}}$$

Per la configurazione B, i calcoli sono identici, solo variano le componenti $x$$x$ e $y$$y$; possiamo quindi scrivere le forze nelle due configurazioni in forma vettoriale:

$${\begin{aligned}&{\text{A) }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{\frac {3xy}{r^{5}}};\,{\frac {r^{2}-3y}{r^{5}}};\,-{\frac {3zy}{r^{5}}}\right)\rightarrow \mathbf {F} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{d^{3}}}{\hat {\mathbf {x} }}\\&{\text{B) }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {r^{2}-3x}{r^{5}}};\,-{\frac {3xy}{r^{5}}};\,-{\frac {3zx}{r^{5}}}\right)\rightarrow \mathbf {F} ={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{d^{3}}}{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\text{A) }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{\frac {3xy}{r^{5}}};\,{\frac {r^{2}-3y}{r^{5}}};\,-{\frac {3zy}{r^{5}}}\right)\rightarrow \mathbf {F} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{d^{3}}}{\hat {\mathbf {x} }}\\&{\text{B) }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} )={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {r^{2}-3x}{r^{5}}};\,-{\frac {3xy}{r^{5}}};\,-{\frac {3zx}{r^{5}}}\right)\rightarrow \mathbf {F} ={\frac {pq}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{d^{3}}}{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$$

Dove abbiamo indicato con $d$$d$ la distanza dall'origine del punto medio di $\delta$$\delta$.

Per il calcolo dei momenti, potremmo procedere passo passo calcolando il prodotto vettoriale tra i due, ma basta osservare che nella configurazione B il dipolo è già parallelo all'asse, quindi $\mathbf {p} //\mathbf {E}$$\mathbf {p} //\mathbf {E}$ e il loro prodotto vettoriale è nullo, mentre nella configurazione A, mentre la forza spinge il dipolo all'infinito lungo ${\hat {\mathbf {y} }}$${\hat {\mathbf {y} }}$, il momento tenderà a metterlo parallelo al campo, quindi la rotazione avverrà lungo l'asse ${\hat {\mathbf {z} }}$${\hat {\mathbf {z} }}$. I due momenti sono allora:

$${\begin{aligned}&{\text{A}})\quad \mathbf {M} =-pE_{x}{\hat {\mathbf {z} }}\\&{\text{B}})\quad \mathbf {M} =0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\text{A}})\quad \mathbf {M} =-pE_{x}{\hat {\mathbf {z} }}\\&{\text{B}})\quad \mathbf {M} =0\end{aligned}}$$