Esercizi sui conduttori

In questa sezione elencheremo una serie di esercizi sui conduttori da risolvere. Le soluzioni, riassuntive, si trovano nel capitolo dedicato a fine testo.

Esercizio (3.1)

In figura A3.1 è presentato il sistema dell'esercizio. Abbiamo un sistema rigido in metallo, composto da due condensatori, le cui armature inferiori sono collegate a terra per tutta la durata del problema, posti in equilibrio. Il sistema è, inizialmente, completamente scarico. Manualmente, alziamo un condensatore a un'altezza $h+x_{i}$$h+x_{i}$, mentre l'altro si abbasserà a $h-x_{i}$$h-x_{i}$, con $x_{i}$$x_i$ spostamento iniziale. Blocchiamo meccanicamente il sistema (quindi le armature non possono più muoversi) e colleghiamo il sistema a un generatore di tensione, con $\Delta V=V_{0}$$\Delta V=V_{0}$, e i due condensatori iniziano a caricarsi; stacchiamo il generatore, sblocchiamo il sistema e lasciamolo evolvere: le armature continueranno da una parte ad alzarsi e dall'altra ad abbassarsi, arrivando a una $h+x_{f}$$h+x_{f}$ e $h-x_{f}$$h-x_{f}$ rispettivamente. Dati per noti la tensione del generatore $V_{0}$$V_0$, l'altezza iniziale $h$$h$ e la superficie delle armature $S$$S$, si chiede di calcolare:

1. $\Delta V=V_{f}$$\Delta V=V_{f}$ il potenziale finale;
2. le cariche $q_{1}$$q_1$ e $q_{2}$$q_2$ sui condensatori quando le armature si sono spostate di $x_{f}$$x_{f}$;
3. la forza totale sul giogo $F=F_{1}-F_{2}$$F=F_{1}-F_{2}$;
4. il lavoro $L_{(x_{i}\to x_{f})}$$L_{(x_{i}\to x_{f})}$ compiuto dalle forze elettrostatiche da $x_{i}$$x_i$ a $x_{f}$$x_{f}$.
   

   Fig. A3.1

 

Esercizio (3.2)

In figura A3.2 il conduttore del problema. Abbiamo un conduttore sferico di raggio $R$$R$ con due cavità sferiche all'interno, rispettivamente di raggio $a$$a$ e $b$$b$ con $a\neq b$$a\neq b$; al centro delle cavità sono poste due cariche $q_{a},q_{b}$$q_{a},q_{b}$ non per forza di segno uguale o uguali in modulo. Calcolare:

1. le densità superficiali delle tre sfere $\sigma _{a},\sigma _{b},\sigma _{R}$$\sigma _{a},\sigma _{b},\sigma _{R}$;
2. il campo elettrico all'esterno del conduttore;
3. i campi elettrici $\mathbf {E} _{a},\mathbf {E} _{b}$$\mathbf {E} _{a},\mathbf {E} _{b}$ all'interno delle due cavità;
4. le forze $\mathbf {F} _{a},\mathbf {F} _{b}$$\mathbf {F} _{a},\mathbf {F} _{b}$ percepite dalle due cariche; c'è interazione tra le cariche?

Se le cariche non fossero messe esattamente al centro, ma in un intorno di raggio $\varepsilon$$\varepsilon$ dal centro, cosa accadrebbe e come varierrebero le prime tre richieste?

Poi, viene avvicinata una carica $q_{c}$$q_{c}$ all'esterno del conduttore (per vicina si intende a distanza non infinita). Dire qualitativamente come variano le quattro richieste del problema.

Fig. A3.2

 

Esercizio (3.3)

In figura A3.3 il sistema dell'esercizio. Abbiamo due conduttori sferici di raggio $R_{1}$$R_1$ e $R_{2}$$R_2$, i cui centri sono posti a grande distanza $d$$d$. Entrambi possono essere collegati a terra tramite un interruttore.

Colleghiamo la sfera 2 a terra e poniamo una carica $Q$$Q$ sulla sfera 1; a questo punto, isoliamo la 2 (scollegandola da terra), si formerà una carica indotta su questa. Colleghiamo a terra la 1, per poi isolarla. Quanto vale la carica sulla sfera 1 alla fine di questo processo?

Fig. A3.3

 

Esercizio (3.4)

Abbiamo il sistema in figura A3.4. Sono conduttori sferici concentrici, dove i due gusci esterni hanno spessore trascurabile. Abbiamo una carica $Q$$Q$ sul conduttore al centro (1), una carica ${\frac {Q}{2}}$${\frac {Q}{2}}$ sul primo guscio (2) e una carica $-{\frac {3}{2}}Q$$-{\frac {3}{2}}Q$ sul secondo guscio (3). Calcolare $V_{1}-V_{2}$$V_{1}-V_{2}$, $V_{2}-V_{3}$$V_{2}-V_{3}$, $V_{3}-V_{\infty }$$V_{3}-V_{\infty }$. Poi, calcolare il campo elettrico $\mathbf {E} (P)$$\mathbf {E} (P)$ in un punto $P$$P$ posto a distanza $d>>R_{3}$$d>>R_{3}$ dal centro del sistema. Calcolare infine l'energia totale del sistema $U_{E}^{\text{tot}}$$U_{E}^{\text{tot}}$.

Fig. A3.4

 

Esercizio (3.5)

In un condensatore piano inseriamo (ad un'altezza qualsiasi) una lastra di materiale conduttore di superficie $S$$S$ uguale a quella delle armature del condensatore e altezza della lastra $x$$x$; posta $h$$h$ la distanza tra le armature, si calcoli la variazione di capacità del sistema $\Delta C$$\Delta C$ e il lavoro compiuto per inserire il conduttore tra le armature.

Nota bene: il sistema si consideri isolato a carica costante.