Teorema di Helmholtz

In virtù della teoria classica dell'elettrodinamica, il teorema di Helmholtz risulta fondamentale per dare un senso a tutto quello che si fa. D'altronde, le quattro equazioni di Maxwell sono divergenza e rotore dei campi elettrico e magnetico: cosa ci dice che, dati divergenza e rotore di un campo vettoriale, questo risulta essere univocamente definito? A dircelo è proprio il teorema di Helmholtz, che afferma Se sono note la divergenza $D$ $D$ e il rotore $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ di un campo vettoriale $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ , e entrambi vanno a 0 all'infinito più rapidamente di ${\frac {1}{r^{2}}}$ $\frac{1}{r^2}$ , e anche il campo stesso va a zero all'infinito, allora il campo vettoriale è univocamente definito dalla seguente espressione:

\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {D(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\right)

\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {D(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\right)

Dove gli integrali sono calcolati su tutto lo spazio.

Vediamo come possiamo dimostrarlo. Ricordiamo che $D={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F}$ $D={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F}$ e $\mathbf {C} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F}$ $\mathbf {C} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F}$ ; chiamiamo:

{\begin{aligned}&U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {D(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\\&\mathbf {W} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\end{aligned}}

{\begin{aligned}&U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {D(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\\&\mathbf {W} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '\end{aligned}}

L'espressione di $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ diventa:

\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {W}

Per vedere se le cose hanno senso, se calcoliamo la divergenza di questa espressione:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}U=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}D(\mathbf {r} ')\,{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d\tau '=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}D(\mathbf {r} ')(-4\pi )\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')d\tau '=D\mathbf {r}

Ha senso con quanto scritto finora. Il rotore invece:

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {W} +{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} )

Per il laplaciano avremo:

-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {W} =-{\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}\mathbf {C} (\mathbf {r} ')\,{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d\tau '=\mathbf {C} (\mathbf {r} )

Ottimo, a meno che ${\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} )=0$ ${\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} )=0$ . La divergenza di $\mathbf {W}$ $\mathbf {W}$ vale:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}\mathbf {C} (\mathbf {r} ')\,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d\tau '=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}\mathbf {C} (\mathbf {r} ')\,{\boldsymbol {\nabla }}'\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d\tau '

Dove abbiamo usato la stessa uguaglia vista nella sezione 6.6 (relazione tra gradiente puro e gradiente primato). Applicando la formula ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (f\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot \mathbf {v} +f({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )$ ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (f\mathbf {v} )={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot \mathbf {v} +f({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )$ , ovvero:

{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \left({\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=\mathbf {C} (\mathbf {r} ')\cdot {\boldsymbol {\nabla }}'\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)+{\frac {{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}

Possiamo allora riscrivere:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r} ')d\tau '-\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \left({\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d\tau '

Applichiamo al secondo membro a destra il teorema della divergenza:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{AS}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\boldsymbol {\nabla }}'\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r} ')d\tau '-\int _{\partial \tau }{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\cdot {\hat {n}}\,dS

Allora, il primo termine è sempre nullo, perché ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {C} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )$ ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {C} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )$ e la divergenza di un rotore è sempre nulla; il secondo termine invece è un integrale di superficie all'infinito, e se $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ va a zero all'infinito abbastanza in fretta questo sarà nullo.

Questo significa anche dire che gli integrali nelle espressioni di $U$ $U$ e $\mathbf {W}$ $\mathbf {W}$ convergono, anche perché se non convergessero i due campi non esisterebbero. Per $r'\to \infty$ $r'\to \infty$ possiamo assumere $|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|\approx r'$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|\approx r'$ , e i due integrali avranno una forma del tipo ( $d\tau '\propto r'^{2}dr'$ $d\tau '\propto r'^{2}dr'$ ) :

\int _{\infty }{\frac {\mathrm {X} (r')}{r'}}r'^{2}\,dr'=\int _{\infty }r'\mathrm {X} (r')\,dr'

Dove $\mathrm {X}$ $\mathrm {X}$ vale $D$ $D$ o $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ a seconda del caso. Da questa relazione concludiamo che $\mathrm {X} (r')$ $\mathrm {X} (r')$ non può essere proporzionale ne a ${\frac {1}{r'}}$ ${\frac {1}{r'}}$ (perché l'integrale di una costante su uno spazio infinito diverge), ne a ${\frac {1}{r'^{2}}}$ ${\frac {1}{r'^{2}}}$ , perché anche l'integrale di un logaritmo diverge. In conclusione, i campi $D$ $D$ e $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ devono andare a zero all'infinito più rapidamente di ${\frac {1}{r^{2}}}$ $\frac{1}{r^2}$ , il che rende ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W}$ ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {W}$ nulla, per quanto ne abbiamo detto.

Quindi, possiamo scrivere il nostro campo vettoriale esprimibile come:

\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {W}

Cosa ci assicura che questa scrittura sia unica? Nessuno: possiamo tranquillamente aggiungere a $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ un qualsiasi campo vettoriale che abbia divergenza e rotore nullo e ottenere la stessa rappresentazione. Meno male che un campo irrotazionale e solenoidale allo stesso tempo non possa che essere nullo: la scrittura è unica, il campo $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ risulta univocamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore.

Piccolo appunto: vi siete mai chiesti perché nelle espressioni dei campi elettrico e magnetico (e di tutti i derivati: campi ausiliari, potenziali ecc) ci sia sempre un $4\pi$ $4 \pi$ al denominatore? È tutto in virtù del teorema di Helmholtz.