In virtù della teoria classica dell'elettrodinamica, il teorema di Helmholtz risulta fondamentale per dare un senso a tutto quello che si fa. D'altronde, le quattro equazioni di Maxwell sono divergenza e rotore dei campi elettrico e magnetico: cosa ci dice che, dati divergenza e rotore di un campo vettoriale, questo risulta essere univocamente definito? A dircelo è proprio il teorema di Helmholtz, che afferma Se sono note la divergenza
e il rotore
di un campo vettoriale
, e entrambi vanno a 0 all'infinito più rapidamente di
, e anche il campo stesso va a zero all'infinito, allora il campo vettoriale è univocamente definito dalla seguente espressione:

Dove gli integrali sono calcolati su tutto lo spazio.
Vediamo come possiamo dimostrarlo. Ricordiamo che
e
; chiamiamo:

L'espressione di
diventa:

Per vedere se le cose hanno senso, se calcoliamo la divergenza di questa espressione:

Ha senso con quanto scritto finora. Il rotore invece:

Per il laplaciano avremo:

Ottimo, a meno che
. La divergenza di
vale:

Dove abbiamo usato la stessa uguaglia vista nella sezione 6.6 (relazione tra gradiente puro e gradiente primato). Applicando la formula
, ovvero:

Possiamo allora riscrivere:

Applichiamo al secondo membro a destra il teorema della divergenza:

Allora, il primo termine è sempre nullo, perché
e la divergenza di un rotore è sempre nulla; il secondo termine invece è un integrale di superficie all'infinito, e se
va a zero all'infinito abbastanza in fretta questo sarà nullo.
Questo significa anche dire che gli integrali nelle espressioni di
e
convergono, anche perché se non convergessero i due campi non esisterebbero. Per
possiamo assumere
, e i due integrali avranno una forma del tipo (
) :

Dove
vale
o
a seconda del caso. Da questa relazione concludiamo che
non può essere proporzionale ne a
(perché l'integrale di una costante su uno spazio infinito diverge), ne a
, perché anche l'integrale di un logaritmo diverge. In conclusione, i campi
e
devono andare a zero all'infinito più rapidamente di
, il che rende
nulla, per quanto ne abbiamo detto.
Quindi, possiamo scrivere il nostro campo vettoriale esprimibile come:

Cosa ci assicura che questa scrittura sia unica? Nessuno: possiamo tranquillamente aggiungere a
un qualsiasi campo vettoriale che abbia divergenza e rotore nullo e ottenere la stessa rappresentazione. Meno male che un campo irrotazionale e solenoidale allo stesso tempo non possa che essere nullo: la scrittura è unica, il campo
risulta univocamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore.
Piccolo appunto: vi siete mai chiesti perché nelle espressioni dei campi elettrico e magnetico (e di tutti i derivati: campi ausiliari, potenziali ecc) ci sia sempre un
al denominatore? È tutto in virtù del teorema di Helmholtz.