Calcolo completo del campo di dipolo magnetico

Qui procediamo a calcolare direttamente il campo $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ di dipolo magnetico che abbiamo introdotto nella sezione 6.8. Nel nostro caso abbiamo un momento di dipolo magnetico che ha componente solo sull'asse ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\hat {\mathbf {z} }}$ , vale cioè $\mathbf {m} =(0,0,m)$ $\mathbf {m} =(0,0,m)$ . Allora avremo:

\mathbf {m} \times \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\0&0&m\\x&y&z\end{vmatrix}}=-my\,{\hat {\mathbf {x} }}+my\,{\hat {\mathbf {y} }}=(-my,mx,0)

Per ottenere il campo di induzione magnetica dovremo calcolare:

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times {\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\-{\frac {my}{r^{3}}}&{\frac {mx}{r^{3}}}&0\end{vmatrix}}

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times {\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\-{\frac {my}{r^{3}}}&{\frac {mx}{r^{3}}}&0\end{vmatrix}}

Tralasciando la costante di accoppiamento procediamo direttamente a calcolare il determinante della matrice in questione:

{\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\-{\frac {my}{r^{3}}}&{\frac {mx}{r^{3}}}&0\end{vmatrix}}={\begin{aligned}&{\hat {\mathbf {x} }}\left(-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {mx}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {my}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)+\\+&{\hat {\mathbf {z} }}\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {mx}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {my}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}

{\begin{vmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\-{\frac {my}{r^{3}}}&{\frac {mx}{r^{3}}}&0\end{vmatrix}}={\begin{aligned}&{\hat {\mathbf {x} }}\left(-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {mx}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {my}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)+\\+&{\hat {\mathbf {z} }}\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {mx}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {my}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}

Il calcolo delle prime due componenti è nettamente più semplice, e le possiamo direttamente scrivere:

{\begin{aligned}&B_{x}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {3mxz}{r^{5}}}\\&B_{y}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {3myz}{r^{5}}}\end{aligned}}

Per la componente ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\hat {\mathbf {z} }}$ , calcoliamo uno dei due membri (l'altro è identico a meno di sostituire $x$ $x$ con $y$ $y$ ):

{\frac {\partial }{\partial x}}\left((mx)\cdot {\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)={\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {(mx)(2x)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{r^{5}}}

Addizionando entrambi i membri, avremo la componente che cerchiamo:

{\frac {m}{r^{3}}}-3{\frac {mx^{2}}{r^{5}}}+{\frac {m}{r^{3}}}-3{\frac {my^{2}}{r^{5}}}

Scritta così è abbastanza brutta, facciamo qualche calcolo di algebra per ottenere un risultato più elegante:

{\begin{aligned}&2{\frac {m}{r^{3}}}-3m{\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{5}}}=2{\frac {m}{r^{3}}}-3{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}-z^{2}}{r^{5}}}=\\&2{\frac {m}{r^{3}}}-3m{\frac {r^{2}-z^{2}}{r^{5}}}=2{\frac {m}{r^{3}}}+m{\frac {3z^{2}-3r^{2}}{r^{5}}}=\\&m{\frac {2r^{2}+3z^{2}-3r^{2}}{r^{5}}}=m{\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}&2{\frac {m}{r^{3}}}-3m{\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{5}}}=2{\frac {m}{r^{3}}}-3{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}-z^{2}}{r^{5}}}=\\&2{\frac {m}{r^{3}}}-3m{\frac {r^{2}-z^{2}}{r^{5}}}=2{\frac {m}{r^{3}}}+m{\frac {3z^{2}-3r^{2}}{r^{5}}}=\\&m{\frac {2r^{2}+3z^{2}-3r^{2}}{r^{5}}}=m{\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\end{aligned}}

Otteniamo quindi l'ultima componente:

B_{z}={\frac {\mu _{0}\,m}{4\pi }}\left({\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\right)

Infine, possiamo scrivere in forma vettoriale il campo magnetico di induzione generato a grande distanza dal dipolo magnetico:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left(3{\frac {(\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right)