Proprietà ottiche

Le proprieta' ottiche dei mezzi anisotropi sono descritte da un tensore dielettrico complesso ${\underline {\varepsilon }}(\omega )$${\underline {\varepsilon }}(\omega )$ anziche' da una singola funzione dielettrica scalare $\varepsilon (\omega )$$\varepsilon (\omega )$. La costante dielettrica di un mezzo anisotropo e' rappresentabile come una matrice$_{3\times 3}$$_{3\times 3}$:

$${\underline {\varepsilon }}(\omega )~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}(\omega )&\varepsilon _{12}(\omega )&\varepsilon _{13}(\omega )\\\varepsilon _{21}(\omega )&\varepsilon _{22}(\omega )&\varepsilon _{23}(\omega )\\\varepsilon _{31}(\omega )&\varepsilon _{31}(\omega )&\varepsilon _{33}(\omega )\\\end{matrix}}\right)$$

$${\underline {\varepsilon }}(\omega )~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}(\omega )&\varepsilon _{12}(\omega )&\varepsilon _{13}(\omega )\\\varepsilon _{21}(\omega )&\varepsilon _{22}(\omega )&\varepsilon _{23}(\omega )\\\varepsilon _{31}(\omega )&\varepsilon _{31}(\omega )&\varepsilon _{33}(\omega )\\\end{matrix}}\right)$$

Poiche' i vettori campo elettrico ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ e spostamento elettrico ${\boldsymbol {D}}$${\boldsymbol {D}}$ sono legati dalla relazione

$${\boldsymbol {D}}~=~{\underline {\varepsilon }}(\omega )~{\boldsymbol {E}}$$

$${\boldsymbol {D}}~=~{\underline {\varepsilon }}(\omega )~{\boldsymbol {E}}$$

i vettori ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ e ${\boldsymbol {D}}$${\boldsymbol {D}}$ non sono in generale paralleli. Tenendo conto che il vettore di Poynting ${\boldsymbol {S}}$${\boldsymbol {S}}$e' perpendicolare al vettore ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$, mentre il vettore d'onda ${\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {k}}$e' perpendicolare al vettore ${\boldsymbol {D}}$${\boldsymbol {D}}$, si deduce che ${\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {k}}$ ed ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ non sono perpendicolari tra loro: la propagazione della luce non e' dunque puramente trasversale (${\boldsymbol {E}}\perp {\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {E}}\perp {\boldsymbol {k}}$) ma ha un carattere misto trasversale-longitudinale (la proiezione di ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ lungo la direzione di propagazione ${\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {k}}$ non e' nulla).

La matrice che rappresenta il tensore dielettrico puo' essere diagonalizzata, fino a ottenere

$${\underline {\varepsilon }}(\omega )~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}(\omega )&0&0\\0&\varepsilon _{2}(\omega )&0\\0&0&\varepsilon _{3}(\omega )\\\end{matrix}}\right)$$

$${\underline {\varepsilon }}(\omega )~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}(\omega )&0&0\\0&\varepsilon _{2}(\omega )&0\\0&0&\varepsilon _{3}(\omega )\\\end{matrix}}\right)$$

Gli assi del sistema di riferimento in cui il tensore dielettrico e' diagonale si dicono assi principali del tensore.

Se il campo elettrico della luce incidente sul cristallo e' allineato con un asse principale allora la propagazione della luce si riduce ad essere di tipo trasversale. Siano $x_{1}$$x_{1}$, $x_{2}$$x_{2}$ e $x_{3}$$x_3$ gli assi principali e sia per esempio ${\boldsymbol {E}}\parallel x_{2}$${\boldsymbol {E}}\parallel x_{2}$

$${\boldsymbol {E}}~=~\left({\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right)$$

$${\boldsymbol {E}}~=~\left({\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right)$$

Allora

$${\boldsymbol {D}}~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}(\omega )&0&0\\0&\varepsilon _{2}(\omega )&0\\0&0&\varepsilon _{3}(\omega )\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right)~=~\left({\begin{matrix}0\\\varepsilon _{2}(\omega )\\0\end{matrix}}\right)$$

$${\boldsymbol {D}}~=~\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}(\omega )&0&0\\0&\varepsilon _{2}(\omega )&0\\0&0&\varepsilon _{3}(\omega )\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right)~=~\left({\begin{matrix}0\\\varepsilon _{2}(\omega )\\0\end{matrix}}\right)$$

dunque ${\boldsymbol {D}}\parallel {\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {D}}\parallel {\boldsymbol {E}}$, cioe'${\boldsymbol {E}}\perp {\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {E}}\perp {\boldsymbol {k}}$.

Se nella sua forma diagonale il tensore ${\underline {\varepsilon }}(\omega )$${\underline {\varepsilon }}(\omega )$ ha tutti elementi diversi tra loro il cristallo si dice biassico. Se due elementi sono uguali fra loro e diversi dal terzo si dice uniassico. Infine, se i tre elementi diagonali sono uguali il cristallo e'cubico (isotropo).