Trasmissione

Per studiare come la luce si propaga all'interno dei materiali mi interessa valutare come la sua intensita' si attenua man mano che procede all'interno del materiale. Definisco quindi il coefficiente di trasmissione T come rapporto tra l'intensita' della luce dopo aver percorso un tratto $x$$x$ nel materiale e l'intensita' della luce a $x=0$$x=0$ (ovvero valutata un infinitesimo dopo la superficie di separazione). L'intensita' di un'onda e' definita come il valore medio dell'energia trasportata dall'onda nell'unita' di tempo attraverso l'unita' di superficie normale alla direzione di propagazione. E' possibile dimostrare che l'intensita'$I$$I$ di un'onda elettromagnetica e' proporzionale al quadrato del modulo dell'ampiezza del campo elettrico. Scriviamo dunque

$$T~=~{\frac {I(x)}{I(0)}}~=~\left|{\frac {E_{0}~e^{i(kx-\omega t)}}{E_{0}~e^{-i\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|{\frac {e^{i({\frac {\omega (n+ik_{a})x}{c}}-\omega t)}}{e^{-i\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|e^{-{\frac {\omega k_{a}x}{c}}}~e^{i{\frac {\omega nx}{c}}}\right|^{2}$$

$$T~=~{\frac {I(x)}{I(0)}}~=~\left|{\frac {E_{0}~e^{i(kx-\omega t)}}{E_{0}~e^{-i\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|{\frac {e^{i({\frac {\omega (n+ik_{a})x}{c}}-\omega t)}}{e^{-i\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|e^{-{\frac {\omega k_{a}x}{c}}}~e^{i{\frac {\omega nx}{c}}}\right|^{2}$$

Ricordando che il modulo di una pura fase e'$1$$1$, arriviamo per il coefficiente di trasmissione alla relazione

$$T~=~e^{-{\frac {2\omega k_{a}x}{c}}}~=~e^{-\alpha x}$$

$$T~=~e^{-{\frac {2\omega k_{a}x}{c}}}~=~e^{-\alpha x}$$

Il coefficiente $\alpha ={\frac {2\omega k_{a}}{c}}$$\alpha ={\frac {2\omega k_{a}}{c}}$ prende il nome di coefficiente di assorbimento del materiale; la relazione appena trovata e' invece nota come legge di Lambert-Beer.

Possiamo definire in modo analogo il coefficiente di trasmissione come rapporto tra l'intensita' della luce dopo aver percorso un tratto $x_{0}+x$$x_{0}+x$ nel materiale e l'intensita' della luce dopo aver percorso la sola distanza $x_{0}$$x_0$

$$T~=~{\frac {I(x_{0}+x)}{I(x_{0})}}~=~\left|{\frac {E_{0}~e^{i(k(x+x_{0})-\omega t)}}{E_{0}~e^{i(kx_{0}-\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|{\frac {e^{i{\frac {\omega (n+ik_{a})(x+x_{0})}{c}}}}{e^{i{\frac {\omega (n+ik_{a})x_{0}}{c}}}}}\right|^{2}~=~\left|e^{-{\frac {\omega k_{a}x}{c}}}\right|^{2}$$

$$T~=~{\frac {I(x_{0}+x)}{I(x_{0})}}~=~\left|{\frac {E_{0}~e^{i(k(x+x_{0})-\omega t)}}{E_{0}~e^{i(kx_{0}-\omega t)}}}\right|^{2}~=~\left|{\frac {e^{i{\frac {\omega (n+ik_{a})(x+x_{0})}{c}}}}{e^{i{\frac {\omega (n+ik_{a})x_{0}}{c}}}}}\right|^{2}~=~\left|e^{-{\frac {\omega k_{a}x}{c}}}\right|^{2}$$

ritrovando la legge di Lambert-Beer.

Notiamo che vale $0\leq T\leq 1$$0\leq T\leq 1$, poiche'$0\leq e^{-\alpha x}\leq 1$$0\leq e^{-\alpha x}\leq 1$. Cio' non ci sorprende: l'intensita' di un'onda e.m. e' legata al numero di fotoni che essa trasporta e il coefficiente di trasmissione e' dunque legato al rapporto ${\frac {\#fotoni~trasmessi}{\#fotoni~iniziali}}$${\frac {\#fotoni~trasmessi}{\#fotoni~iniziali}}$; quando la luce passa in un materiale questo assorbe fotoni della radiazione luminosa, diminuendone quindi il numero.

Poiche' l'indice di rifrazione di un materiale ${\hat {n}}$$\hat{n}$ dipende dalla pulsazione $\omega$$\omega$ dell'onda che si propaga, ovvero ${\hat {n}}={\hat {n}}(\omega )$${\hat {n}}={\hat {n}}(\omega )$, ne segue che $n=n(\omega )$$n=n(\omega )$, $k_{a}=k_{a}(\omega )$$k_{a}=k_{a}(\omega )$. Essendo il coefficiente di assorbimento del materiale $\alpha$$\alpha$ funzione di $k_{a}$$k_{a}$, si ha anche che $\alpha =\alpha (\omega )$$\alpha =\alpha (\omega )$, $T=T(\omega )$$T=T(\omega )$. Per evidenziare questa caratteristica del coefficiente di trasmissione si parla di spettro di trasmissione. Dipendendo il coefficiente di trasmissione dalla pulsazione dell'onda, esso dipende anche dalla lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica nel vuoto. Specifichiamo nel vuoto perche' abbiamo visto come la lunghezza d'onda di un raggio luminoso dipenda dal mezzo in cui esso si propaga.

esempio 1

Consideriamo un raggio che propaghi in acqua. Siano $x$$x$ la distanza percorsa dall'onda elettromagnetica nell'acqua (dunque $x=0$$x=0$ corrispondente all'entrata dell'onda in acqua), $I_{0}$$I_0$ l'intensita' dell'onda e.m. in $x=0$$x = 0$ e sia infine $d$$d$ tale che $I(d)={\frac {I_{0}}{e}}$$I(d)={\frac {I_{0}}{e}}$. Data la curva di assorbimento dell'acqua, calcolare la distanza $d$$d$ per luce visibile, ultravioletta e infrarossa con $\lambda _{IR}=100\mu m$$\lambda _{IR}=100\mu m$.

L'intensita' della luce che ha percorso distanza $x$$x$ nell'acqua e'

$$I(x)=I_{0}e^{-\alpha x}$$

$$I(x)=I_{0}e^{-\alpha x}$$

$$I(d)=I_{0}e^{-\alpha d}={\frac {I_{0}}{e}}\implies \alpha d=1\implies d={\frac {1}{\alpha }}$$

$$I(d)=I_{0}e^{-\alpha d}={\frac {I_{0}}{e}}\implies \alpha d=1\implies d={\frac {1}{\alpha }}$$

$$\lambda _{visibile}\simeq 500nm\qquad \alpha _{visibile}\simeq 10^{-4}cm^{-1}\qquad d_{visibile}=10^{4}cm=100m$$

$$\lambda _{visibile}\simeq 500nm\qquad \alpha _{visibile}\simeq 10^{-4}cm^{-1}\qquad d_{visibile}=10^{4}cm=100m$$

$$\lambda _{UV}\simeq 100nm\qquad \qquad \alpha _{UV}\simeq 10^{5}cm^{-1}\qquad \qquad d_{UV}=10^{-5}cm=100nm$$

$$\lambda _{UV}\simeq 100nm\qquad \qquad \alpha _{UV}\simeq 10^{5}cm^{-1}\qquad \qquad d_{UV}=10^{-5}cm=100nm$$

$$\lambda _{IR}\simeq 100\mu m\qquad \qquad \alpha _{IR}\simeq 100cm^{-1}\qquad \qquad d_{IR}=10^{-2}cm=0,1mm$$

$$\lambda _{IR}\simeq 100\mu m\qquad \qquad \alpha _{IR}\simeq 100cm^{-1}\qquad \qquad d_{IR}=10^{-2}cm=0,1mm$$