Riflessione - incidenza non ortogonale

Consideriamo la superficie di separazione fra due materiali aventi rispettivamente indice di rifrazione ${\hat {n}}_{1}$${\hat {n}}_{1}$ e ${\hat {n}}_{2}$${\hat {n}}_{2}$ e un'onda elettromagnetica che vi incida formando un angolo $\Phi$$\Phi$ con la normale alla superficie di separazione. Vogliamo determinare l'intensita' dei raggi riflesso e rifratto. Tratteremo per semplicita' il caso di materiali non assorbenti, dunque ${\hat {n}}_{1}=n_{1}$${\hat {n}}_{1}=n_{1}$, ${\hat {n}}_{2}=n_{2}$${\hat {n}}_{2}=n_{2}$.

Polarizzazione p

Come sappiamo, i vettori ${\boldsymbol {k}}$${\boldsymbol {k}}$, ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ e ${\boldsymbol {H}}$${\boldsymbol {H}}$ formano una terna ortogonale. L'onda e.m. si dice polarizzata p se e' polarizzata linearmente con il vettore elettrico giacente nel piano di incidenza del raggio.

Facciamo delle ipotesi sull'orientamento dei due campi in seguito alla trasmissione e alla riflessione: per il raggio trasmesso scegliamo di conservare l'orientamento di ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ ed ${\boldsymbol {H}}$${\boldsymbol {H}}$, mentre per quello riflesso ipotizziamo che ${\boldsymbol {H}}$${\boldsymbol {H}}$ rimanga diretto verso l'esterno e sia ${\boldsymbol {E}}$${\boldsymbol {E}}$ a capovolgersi verso il basso (verificheremo a posteriori la correttezza di queste ipotesi).

Come nel caso precedente, imponiamo le condizioni al contorno sulla superficie di separazione. Siano

$${\boldsymbol {E_{inc}}}={\boldsymbol {E_{0}}}e^{i({\boldsymbol {k_{inc}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t)}$$

$${\boldsymbol {E_{inc}}}={\boldsymbol {E_{0}}}e^{i({\boldsymbol {k_{inc}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t)}$$

$${\boldsymbol {E_{rifl}}}={\boldsymbol {E_{R}}}e^{i({\boldsymbol {k_{rifl}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{r})}$$

$${\boldsymbol {E_{rifl}}}={\boldsymbol {E_{R}}}e^{i({\boldsymbol {k_{rifl}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{r})}$$

$${\boldsymbol {E_{tr}}}={\boldsymbol {E_{T}}}e^{i({\boldsymbol {k_{tr}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{t})}$$

$${\boldsymbol {E_{tr}}}={\boldsymbol {E_{T}}}e^{i({\boldsymbol {k_{tr}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{t})}$$

Ricordiamo che le condizioni al contorno devono valere per ogni istante $t$$t$, quindi i campi incidente, riflesso e trasmesso devono avere lo stesso andamento in funzione del tempo:

$${\boldsymbol {k_{inc}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t={\boldsymbol {k_{rifl}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{r}={\boldsymbol {k_{tr}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{t}$$

$${\boldsymbol {k_{inc}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t={\boldsymbol {k_{rifl}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{r}={\boldsymbol {k_{tr}}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\Phi _{t}$$

Le condizioni al contorno per il campo elettrico si esprimono allora

$$({\boldsymbol {E_{0}}}+{\boldsymbol {E_{R}}})\cos(\Phi )={\boldsymbol {E_{T}}}\cos(\Phi ')$$

$$({\boldsymbol {E_{0}}}+{\boldsymbol {E_{R}}})\cos(\Phi )={\boldsymbol {E_{T}}}\cos(\Phi ')$$

$$(E_{0}-E_{R})\cos(\Phi )=E_{T}\cos(\Phi ')$$

$$(E_{0}-E_{R})\cos(\Phi )=E_{T}\cos(\Phi ')$$

mentre quelle per il campo magnetico portano a

$$H_{0}+H_{R}=E_{T}$$

$$H_{0}+H_{R}=E_{T}$$

$$n_{1}E_{0}+n_{1}E_{R}=n_{2}E_{T}$$

$$n_{1}E_{0}+n_{1}E_{R}=n_{2}E_{T}$$

Dal sistema delle equazioni

$$E_{0}\cos(\Phi )-E_{R}\cos(\Phi )+=E_{T}\cos(\Phi ')$$

$$E_{0}\cos(\Phi )-E_{R}\cos(\Phi )+=E_{T}\cos(\Phi ')$$

$$n_{1}E_{0}+n_{1}E_{R}=n_{2}E_{T}$$

$$n_{1}E_{0}+n_{1}E_{R}=n_{2}E_{T}$$

Ricordando che per gli angoli di incidenza e trasmissione vale la legge di Snell

$$n_{1}\sin(\Phi )~=~n_{2}\sin(\Phi ')$$

$$n_{1}\sin(\Phi )~=~n_{2}\sin(\Phi ')$$

Andiamo a calcolare il rapporto ${\frac {E_{R}}{E_{0}}}$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}$;

$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}~=~{\frac {\cos(\Phi )-{\frac {n_{1}}{n_{2}}}cos(\Phi ')}{\cos(\Phi )+{\frac {n_{1}}{n_{2}}}cos(\Phi ')}}~=~{\frac {\cos(\Phi )-{\frac {\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\sin(\Phi )}}}{\cos(\Phi )+{\frac {\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\sin(\Phi )}}}}~=$$

$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}~=~{\frac {\cos(\Phi )-{\frac {n_{1}}{n_{2}}}cos(\Phi ')}{\cos(\Phi )+{\frac {n_{1}}{n_{2}}}cos(\Phi ')}}~=~{\frac {\cos(\Phi )-{\frac {\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\sin(\Phi )}}}{\cos(\Phi )+{\frac {\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\sin(\Phi )}}}}~=$$

$$={\frac {\cos(\Phi )\sin(\Phi )-\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\cos(\Phi )\sin(\Phi )+\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}}{\underset {Werner}{=}}{\frac {{\frac {1}{2}}(\sin(2\Phi )-\sin(2\Phi '))}{{\frac {1}{2}}(\sin(2\Phi )+\sin(2\Phi '))}}{\underset {prostaferesi}{=}}$$

$$={\frac {\cos(\Phi )\sin(\Phi )-\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}{\cos(\Phi )\sin(\Phi )+\sin(\Phi ')cos(\Phi ')}}{\underset {Werner}{=}}{\frac {{\frac {1}{2}}(\sin(2\Phi )-\sin(2\Phi '))}{{\frac {1}{2}}(\sin(2\Phi )+\sin(2\Phi '))}}{\underset {prostaferesi}{=}}$$

formule di Werner: $\sin(\alpha )\cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )]$$\sin(\alpha )\cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )]$

formule di prostaferesi: $\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin({\frac {\alpha \pm \beta }{2}})\cos({\frac {\alpha \mp \beta }{2}})$$\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin({\frac {\alpha \pm \beta }{2}})\cos({\frac {\alpha \mp \beta }{2}})$

$$=~{\frac {\cos(\Phi +\Phi ')\sin(\Phi -\Phi ')}{\cos(\Phi -\Phi ')\sin(\Phi +\Phi ')}}~=~{\frac {\tan(\Phi -\Phi ')}{\tan(\Phi +\Phi ')}}$$

$$=~{\frac {\cos(\Phi +\Phi ')\sin(\Phi -\Phi ')}{\cos(\Phi -\Phi ')\sin(\Phi +\Phi ')}}~=~{\frac {\tan(\Phi -\Phi ')}{\tan(\Phi +\Phi ')}}$$

Allo stesso modo e' possibile determinare

$${\frac {E_{T}}{E_{0}}}~=~{\frac {2\cos(\Phi )\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')\cos(\Phi -\Phi ')}}$$

$${\frac {E_{T}}{E_{0}}}~=~{\frac {2\cos(\Phi )\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')\cos(\Phi -\Phi ')}}$$

Ora possiamo verificare se le ipotesi sull'orientamento dei campi fatte in precedenza fossero corrette. Entrambi i rapporti, detti anche coefficienti di Fresnel, devono essere sempre positivi. Tramite considerazioni goniometriche possiamo vedere che questo e' sempre vero per il coefficiente di Fresnel ${\frac {E_{T}}{E_{0}}}$${\frac {E_{T}}{E_{0}}}$, mentre e' vero per il coefficiente ${\frac {E_{R}}{E_{0}}}$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}$ solo se

$$\tan(\Phi +\Phi ')>0$$

$$\tan(\Phi +\Phi ')>0$$

ovvero solo se

$$\Phi +\Phi '<{\frac {\pi }{2}}$$

$$\Phi +\Phi '<{\frac {\pi }{2}}$$

Viene in quest'ultima parte implicitamente assunto che l'indice di rifrazione del secondo mezzo sia maggiore dell'indice di rifrazione del primo; più nel dettaglio:

$$n_{2}>n_{1}\rightarrow \Phi '<\Phi \rightarrow \tan(\Phi -\Phi ')>0\qquad \qquad \rightarrow \qquad \qquad {\frac {E_{R}}{E_{0}}}>0\iff \Phi +\Phi '<{\frac {\pi }{2}}$$

$$n_{2}>n_{1}\rightarrow \Phi '<\Phi \rightarrow \tan(\Phi -\Phi ')>0\qquad \qquad \rightarrow \qquad \qquad {\frac {E_{R}}{E_{0}}}>0\iff \Phi +\Phi '<{\frac {\pi }{2}}$$

$$n_{1}>n_{2}\rightarrow \Phi '>\Phi \rightarrow \tan(\Phi -\Phi ')<0\qquad \qquad \rightarrow \qquad \qquad {\frac {E_{R}}{E_{0}}}>0\iff \Phi +\Phi '>{\frac {\pi }{2}}$$

$$n_{1}>n_{2}\rightarrow \Phi '>\Phi \rightarrow \tan(\Phi -\Phi ')<0\qquad \qquad \rightarrow \qquad \qquad {\frac {E_{R}}{E_{0}}}>0\iff \Phi +\Phi '>{\frac {\pi }{2}}$$

Definiamo angolo di Brewster$\Phi _{Br}$$\Phi _{Br}$ il valore dell'angolo di incidenza per cui vale

$$\Phi +\Phi '={\frac {\pi }{2}}$$

$$\Phi +\Phi '={\frac {\pi }{2}}$$

Vediamo che se $\Phi =\Phi _{Br}$$\Phi =\Phi _{Br}$ allora ${\frac {E_{R}}{E_{0}}}=0$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}=0$: l'angolo di Brewster e' quindi l'angolo di incidenza per il quale si annulla il coefficiente di riflessione ed e' presente solo il raggio trasmesso.

Considerando le relazioni fra i campi elettrico e magnetico, scriviamo

$${\frac {H_{R}}{H_{0}}}~=~{\frac {n_{1}E_{R}}{n_{1}E_{0}}}~=~{\frac {E_{R}}{E_{0}}}$$

$${\frac {H_{R}}{H_{0}}}~=~{\frac {n_{1}E_{R}}{n_{1}E_{0}}}~=~{\frac {E_{R}}{E_{0}}}$$

$${\frac {H_{T}}{H_{0}}}~=~{\frac {n_{2}E_{T}}{n_{1}E_{0}}}~=~{\frac {\sin(\Phi )~E_{T}}{\sin(\Phi ')~E_{0}}}$$

$${\frac {H_{T}}{H_{0}}}~=~{\frac {n_{2}E_{T}}{n_{1}E_{0}}}~=~{\frac {\sin(\Phi )~E_{T}}{\sin(\Phi ')~E_{0}}}$$

I coefficienti di riflessione e trasmissione sono

$$R~=~{\frac {|E_{R}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}~=~{\frac {tan^{2}(\Phi -\Phi ')}{tan^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

$$R~=~{\frac {|E_{R}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}~=~{\frac {tan^{2}(\Phi -\Phi ')}{tan^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

$$T={\frac {|E_{T}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}=1-{\frac {tan^{2}(\Phi -\Phi ')}{tan^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

$$T={\frac {|E_{T}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}=1-{\frac {tan^{2}(\Phi -\Phi ')}{tan^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

Quest'ultima espressione può essere ricavata dalla relazione

$${\begin{aligned}{{\frac {E_{T}}{E_{0}}}={\frac {2\cos(\Phi )\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')\cos(\Phi -\Phi ')}}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{{\frac {E_{T}}{E_{0}}}={\frac {2\cos(\Phi )\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')\cos(\Phi -\Phi ')}}}\end{aligned}}$$

scritta in precedenza o più semplicemente ricordando che $R+T=1$$R+T=1$

Concentriamoci sull'andamento di $R$$R$ in funzione dell'angolo di incidenza $\Phi$$\Phi$. Nel limite in cui $\Phi \rightarrow 0$$\Phi \rightarrow 0$ ci aspettiamo di ottenere il valore ricavato per l'incidenza normale:

$${\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}R~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(\Phi -\Phi ')^{2}}{(\Phi +\Phi ')^{2}}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(\sin(\Phi )-\sin(\Phi '))^{2}}{(\sin(\Phi )+\sin(\Phi '))^{2}}}~=~$$

$${\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}R~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(\Phi -\Phi ')^{2}}{(\Phi +\Phi ')^{2}}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(\sin(\Phi )-\sin(\Phi '))^{2}}{(\sin(\Phi )+\sin(\Phi '))^{2}}}~=~$$

$$=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(1-{\frac {\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi )}})^{2}}{(1+{\frac {\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi )}})^{2}}}~=~{\frac {(1-{\frac {n_{1}}{n_{2}}})^{2}}{(1+{\frac {n_{1}}{n_{2}}})^{2}}}~=~{\frac {(n_{2}-n_{1})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$$

$$=~{\underset {\Phi \rightarrow 0}{\lim }}~{\frac {(1-{\frac {\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi )}})^{2}}{(1+{\frac {\sin(\Phi ')}{\sin(\Phi )}})^{2}}}~=~{\frac {(1-{\frac {n_{1}}{n_{2}}})^{2}}{(1+{\frac {n_{1}}{n_{2}}})^{2}}}~=~{\frac {(n_{2}-n_{1})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$$

Nel limite in cui $\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}$$\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}$, ricordando che $\tan({\frac {\pi }{2}}-x)~=~-\tan({\frac {\pi }{2}}+x)$$\tan({\frac {\pi }{2}}-x)~=~-\tan({\frac {\pi }{2}}+x)$, troviamo che

$${\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}R~=~{\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}~{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}~\left({\frac {\tan(\Phi -\Phi ')}{\tan(\Phi +\Phi ')}}\right)^{2}~=~1$$

$${\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}R~=~{\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}~{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}~=~{\underset {\Phi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}{\lim }}~\left({\frac {\tan(\Phi -\Phi ')}{\tan(\Phi +\Phi ')}}\right)^{2}~=~1$$

Potro' quindi avere una riflettivita' quasi totale quando guardo ad incidenza radente materiali che invece non rifletterebbero se guardati ad incidenza normale.

Polarizzazione s

Un'onda e.m. si dice polarizzata $s$$s$ se e' polarizzata linearmente con il vettore elettrico normale al piano di incidenza. In modo del tutto analogo al precedente, si possono ricavare i coefficienti di Fresnel

$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}~=~-{\frac {\sin(\Phi -\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}\qquad \qquad \qquad {\frac {E_{T}}{E_{0}}}~=~{\frac {2\sin(\Phi )\cos(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}$$

$${\frac {E_{R}}{E_{0}}}~=~-{\frac {\sin(\Phi -\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}\qquad \qquad \qquad {\frac {E_{T}}{E_{0}}}~=~{\frac {2\sin(\Phi )\cos(\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}$$

$${\frac {H_{R}}{H_{0}}}~=~{\frac {\sin(\Phi -\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}\qquad \qquad \qquad {\frac {H_{T}}{H_{0}}}~=~{\frac {2\sin(\Phi )\cos(\Phi )}{\sin(\Phi +\Phi ')}}$$

$${\frac {H_{R}}{H_{0}}}~=~{\frac {\sin(\Phi -\Phi ')}{\sin(\Phi +\Phi ')}}\qquad \qquad \qquad {\frac {H_{T}}{H_{0}}}~=~{\frac {2\sin(\Phi )\cos(\Phi )}{\sin(\Phi +\Phi ')}}$$

Ancora, concentriamoci sul coefficiente

$$R~=~{\frac {|E_{R}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}~=~{\frac {\sin ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\sin ^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

$$R~=~{\frac {|E_{R}|^{2}}{|E_{0}|^{2}}}~=~{\frac {\sin ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\sin ^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

A differenza di quanto avviene per un'onda polarizzata $p$$p$, per un'onda polarizzata $s$$s$ tale coefficiente non e' mai zero. Non esiste dunque un angolo per cui il raggio venga interamente trasmesso senza essere riflesso.

Notiamo infine che nel limite $\Phi \rightarrow 0$$\Phi \rightarrow 0$ ritroviamo nuovamente per la riflessivita' l'espressione ottenuta studiando l'incidenza ortogonale.

Luce naturale

La luce naturale non e' polarizzata; possiamo pero' scomporre il vettore elettrico (cosi' pure come il vettore magnetico) in due componenti per ricondurci alle due polarizzazioni studiate, come mostrato in figura.

Per ragioni di simmetria, la quantita' di luce presente sara' equamente divisa nelle due componenti. La riflessivita' di una superficie per luce naturale e' quindi data da

$$R~=~{\frac {1}{2}}{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\sin ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\sin ^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$

$$R~=~{\frac {1}{2}}{\frac {\tan ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\tan ^{2}(\Phi +\Phi ')}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\sin ^{2}(\Phi -\Phi ')}{\sin ^{2}(\Phi +\Phi ')}}$$