Una trasformazione adiabatica è caratterizzata dal fatto che non sono presenti scambi di calore durante tutta la trasformazione, ovvero
per tutta la trasformazione; dal primo principio ne consegue anche che
: questo è un modo sempre valido per calcolare il lavoro di un'adiabatica, che, a volte, può risultare difficile a seconda dei casi (soprattutto quando la trasformazione è irreversibile). Consideriamo una compressione adiabatica, dove si passa da
a
. Valuteremo distintamente il caso reversibile e il caso irreversibile.
Partiamo, come già detto, dal primo principio. Abbiamo che
, poiché il calore scambiato è nullo. Poiché la trasformazione è reversibile, possiamo anche scrivere
e, sfruttando la definizione di lavoro termodinamico, vale anche
.
Consideriamo che adesso il nostro sistema sia un gas perfetto: possiamo allora scrivere:

Ricordando le espressioni tra
e
, possiamo scrivere
, da cui otteniamo che:

Dove
è una costante termodinamica che varia per diversi tipi di gas. Fatte queste considerazioni, possiamo tornare alla nostra equazione differenziale e integrarla:

Abbiamo ottenuto l'espressione della trasformazione adiabatica reversibile dei gas perfetti. Possiamo sfruttare la legge dei gas per ottenere le altre due relazioni equivalenti; scrivendo
, otteniamo che:

Che è l'espressione più nota per l'adiabatica; esprimendo anche il volume come
, otteniamo l'ultima espressione:

In un grafico
la trasformazione adiabatica è rappresentata da una curva più ripida dell'isoterma (la cui relazione era, lo ricordiamo,
).
Possiamo calcolare la temperatura di arrivo
sfruttando la legge dell'adiabatica:

Consideriamo anche stavolta una compressione, in cui si passa dallo stato
allo stato
. In questo caso, poiché la trasformazione è irreversibile, non possiamo sfruttare la condizione di quasi staticità per calcolare l'espressione del lavoro. Tuttavia, il primo principio è sempre valido, e vale
. L'espressione generale del lavoro è ancora valida, per cui potremo scrivere:

Consideriamo ancora una volta il sistema come se fosse un gas perfetto; possiamo allora esprimere i volumi in funzioni di pressioni e temperature, così da calcolarci la temperatura di arrivo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=-(p_{0}+\Delta )\left({\frac {nRT_{irr}}{p_{0}+\Delta }}-{\frac {nRT_{0}}{p_{0}}}\right)\\&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=nR\left[T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)-T_{irr}\right]\\&T_{irr}{\big [}nc_{V}+nR{\big ]}=nRT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+nc_{V}T_{0}\\&T_{irr}c_{V}=RT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+c_{V}T_{0}\\&T_{irr}=T_{0}\left(1+{\frac {R}{c_{p}}}{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)\end{aligned}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ad4dbb7ae54a828d0429ecb709374c068e657498)
Confrontiamo adesso i due risultati, ovvero le due temperature di arrivo dopo le trasformazioni reversibili e irreversibili:

Sviluppiamo la temperatura di arrivo reversibile in Taylor, ricordando che
diventa
:

Esplicitando:

Otteniamo proprio che:

Ovvero i casi reversibile e irreversibile arrivano alla stessa temperatura! Questo ovviamente ha senso: lo sviluppo di Tayler tratta casi in cui
è infinitesimo, quindi le due trasformazioni si avvicinano molto tra loro.