Trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica è caratterizzata dal fatto che non sono presenti scambi di calore durante tutta la trasformazione, ovvero $Q=0$$Q=0$ per tutta la trasformazione; dal primo principio ne consegue anche che $\Delta U=-L$$\Delta U=-L$: questo è un modo sempre valido per calcolare il lavoro di un'adiabatica, che, a volte, può risultare difficile a seconda dei casi (soprattutto quando la trasformazione è irreversibile). Consideriamo una compressione adiabatica, dove si passa da $P_{0}$$P_0$ a $P_{0}+\Delta$$P_{0}+\Delta$. Valuteremo distintamente il caso reversibile e il caso irreversibile.

Adiabatica reversibile

Partiamo, come già detto, dal primo principio. Abbiamo che $\Delta U=-L$$\Delta U=-L$, poiché il calore scambiato è nullo. Poiché la trasformazione è reversibile, possiamo anche scrivere $dU=-\delta L$$dU=-\delta L$ e, sfruttando la definizione di lavoro termodinamico, vale anche $dU=-pdV$$dU=-pdV$.

Consideriamo che adesso il nostro sistema sia un gas perfetto: possiamo allora scrivere:

$${\begin{aligned}&nc_{V}dT=-pdV\\&nc_{V}dT=-nRT{\frac {dV}{V}}\\&{\frac {dT}{T}}=-{\frac {R}{c_{V}}}{\frac {dV}{V}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&nc_{V}dT=-pdV\\&nc_{V}dT=-nRT{\frac {dV}{V}}\\&{\frac {dT}{T}}=-{\frac {R}{c_{V}}}{\frac {dV}{V}}\end{aligned}}$$

Ricordando le espressioni tra $c_{p}$$c_{p}$ e $c_{V}$$c_{V}$, possiamo scrivere $R=c_{p}-c_{V}$$R=c_{p}-c_{V}$, da cui otteniamo che:

$${\frac {R}{c_{V}}}={\frac {c_{p}-c_{V}}{c_{V}}}={\frac {c_{p}}{c_{V}}}-1=\gamma -1$$

$${\frac {R}{c_{V}}}={\frac {c_{p}-c_{V}}{c_{V}}}={\frac {c_{p}}{c_{V}}}-1=\gamma -1$$

Dove $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{V}}}>1$$\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{V}}}>1$ è una costante termodinamica che varia per diversi tipi di gas. Fatte queste considerazioni, possiamo tornare alla nostra equazione differenziale e integrarla:

$${\begin{aligned}&\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {dT}{T}}=-(\gamma -1)\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}\\&\log {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=(1-\gamma )\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=\log \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{(1-\gamma )}\\&{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{(1-\gamma )}\\&{\frac {T_{2}}{V_{2}^{1-\gamma }}}={\frac {T_{1}}{V_{1}^{1-\gamma }}}\\&TV^{\gamma -1}={\text{cost}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {dT}{T}}=-(\gamma -1)\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}\\&\log {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=(1-\gamma )\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=\log \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{(1-\gamma )}\\&{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{(1-\gamma )}\\&{\frac {T_{2}}{V_{2}^{1-\gamma }}}={\frac {T_{1}}{V_{1}^{1-\gamma }}}\\&TV^{\gamma -1}={\text{cost}}\end{aligned}}$$

Abbiamo ottenuto l'espressione della trasformazione adiabatica reversibile dei gas perfetti. Possiamo sfruttare la legge dei gas per ottenere le altre due relazioni equivalenti; scrivendo $T={\frac {pV}{nR}}$$T={\frac {pV}{nR}}$, otteniamo che:

$${\frac {pV}{nR}}V^{\gamma -1}={\text{cost}}\quad \rightarrow pV^{\gamma }={\text{cost}}$$

$${\frac {pV}{nR}}V^{\gamma -1}={\text{cost}}\quad \rightarrow pV^{\gamma }={\text{cost}}$$

Che è l'espressione più nota per l'adiabatica; esprimendo anche il volume come $V={\frac {nRT}{p}}$$V={\frac {nRT}{p}}$, otteniamo l'ultima espressione:

$$P\left({\frac {T}{p}}\right)^{\gamma }={\text{cost}}\,\rightarrow p^{\gamma -1}T^{\gamma }=pT^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}={\text{cost}}$$

$$P\left({\frac {T}{p}}\right)^{\gamma }={\text{cost}}\,\rightarrow p^{\gamma -1}T^{\gamma }=pT^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}={\text{cost}}$$

In un grafico $(p,V)$$(p,V)$ la trasformazione adiabatica è rappresentata da una curva più ripida dell'isoterma (la cui relazione era, lo ricordiamo, $pV={\text{cost}}$$pV={\text{cost}}$).

Possiamo calcolare la temperatura di arrivo $T_{rev}$$T_{rev}$ sfruttando la legge dell'adiabatica:

$${\begin{aligned}&p_{0}T_{0}^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}=(p_{0}+\Delta )T_{rev}^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}\\&T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&p_{0}T_{0}^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}=(p_{0}+\Delta )T_{rev}^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}\\&T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\end{aligned}}$$

Adiabatica irreversibile

Consideriamo anche stavolta una compressione, in cui si passa dallo stato $p_{0},T_{0},V_{0}$$p_{0},T_{0},V_{0}$ allo stato $p_{0}+\Delta ,T_{irr},V_{irr}$$p_{0}+\Delta ,T_{irr},V_{irr}$. In questo caso, poiché la trasformazione è irreversibile, non possiamo sfruttare la condizione di quasi staticità per calcolare l'espressione del lavoro. Tuttavia, il primo principio è sempre valido, e vale $\Delta U=-L$$\Delta U=-L$. L'espressione generale del lavoro è ancora valida, per cui potremo scrivere:

$${\begin{aligned}&nc_{V}\Delta T=-(p_{0}+\Delta )(V_{i}rr-V_{0})\\&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=-(p_{0}+\Delta )(V_{irr}-V_{0})\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&nc_{V}\Delta T=-(p_{0}+\Delta )(V_{i}rr-V_{0})\\&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=-(p_{0}+\Delta )(V_{irr}-V_{0})\end{aligned}}$$

Consideriamo ancora una volta il sistema come se fosse un gas perfetto; possiamo allora esprimere i volumi in funzioni di pressioni e temperature, così da calcolarci la temperatura di arrivo:

$${\begin{aligned}&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=-(p_{0}+\Delta )\left({\frac {nRT_{irr}}{p_{0}+\Delta }}-{\frac {nRT_{0}}{p_{0}}}\right)\\&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=nR\left[T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)-T_{irr}\right]\\&T_{irr}{\big [}nc_{V}+nR{\big ]}=nRT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+nc_{V}T_{0}\\&T_{irr}c_{V}=RT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+c_{V}T_{0}\\&T_{irr}=T_{0}\left(1+{\frac {R}{c_{p}}}{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=-(p_{0}+\Delta )\left({\frac {nRT_{irr}}{p_{0}+\Delta }}-{\frac {nRT_{0}}{p_{0}}}\right)\\&nc_{V}(T_{irr}-T_{0})=nR\left[T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)-T_{irr}\right]\\&T_{irr}{\big [}nc_{V}+nR{\big ]}=nRT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+nc_{V}T_{0}\\&T_{irr}c_{V}=RT_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)+c_{V}T_{0}\\&T_{irr}=T_{0}\left(1+{\frac {R}{c_{p}}}{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)\end{aligned}}$$

Confrontiamo adesso i due risultati, ovvero le due temperature di arrivo dopo le trasformazioni reversibili e irreversibili:

$${\begin{aligned}&T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\\&T_{irr}=T_{0}\left(1+{\frac {R}{c_{p}}}{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\\&T_{irr}=T_{0}\left(1+{\frac {R}{c_{p}}}{\frac {\Delta }{p_{0}}}\right)\end{aligned}}$$

Sviluppiamo la temperatura di arrivo reversibile in Taylor, ricordando che $f(x)=(1+)^{\alpha }$$f(x)=(1+)^{\alpha }$ diventa $1+\alpha (1+x)^{\alpha -1}{\Big |}_{x_{0}}\cdot x$$1+\alpha (1+x)^{\alpha -1}{\Big |}_{x_{0}}\cdot x$:

$$T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\right)$$

$$T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\right)$$

Esplicitando:

$${\frac {\gamma -1}{\gamma }}={\frac {{\frac {c_{p}}{c_{V}}}-1}{\frac {c_{p}}{c_{V}}}}={\frac {c_{p}-c_{V}}{c_{V}}}{\frac {c_{V}}{c_{p}}}={\frac {R}{c_{p}}}$$

$${\frac {\gamma -1}{\gamma }}={\frac {{\frac {c_{p}}{c_{V}}}-1}{\frac {c_{p}}{c_{V}}}}={\frac {c_{p}-c_{V}}{c_{V}}}{\frac {c_{V}}{c_{p}}}={\frac {R}{c_{p}}}$$

Otteniamo proprio che:

$$T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}{\frac {R}{c_{p}}}\right)=T_{irr}$$

$$T_{rev}=T_{0}\left(1+{\frac {\Delta }{p_{0}}}{\frac {R}{c_{p}}}\right)=T_{irr}$$

Ovvero i casi reversibile e irreversibile arrivano alla stessa temperatura! Questo ovviamente ha senso: lo sviluppo di Tayler tratta casi in cui $\Delta \to 0$$\Delta \to 0$ è infinitesimo, quindi le due trasformazioni si avvicinano molto tra loro.