Distribuzione di Maxwell

La distribuzione di Maxwell, nota anche come distribuzione delle velocità, è una funzione che descrive la probabilità, in un sistema composto da particelle, che una particella abbia una velocità compresa tra e , che corrisponde anche alla probabilità della particella di avere energia compresa tra e .

Procediamo per gradi. Ipotizziamo di avere a che fare con un gas monoatomico perfetto, e consideriamo un infinitesimo di massa , dove è la densità in funzione della posizione; in tal caso abbiamo a che fare con un sistema non omogeneo. Inoltre, sapendo che, definita con la massa della singola particella, vale la relazione per il numero di particelle :

Dove è la densità di particelle in funzione della posizione, otteniamo che la probabilità di avere una particella in un infinitesimo di volume è pari a:

Ovviamente, ci aspettiamo che su tutto il volume valga .

Consideriamo adesso la probabilità che una determinata particella abbia una certa velocità ; possiamo fare un ragionamento analogo a quello fatto per la posizione della particella:

Poiché il gas è perfetto e il nostro sistema è perfettamente isotropo, possiamo passare alle coordinate sferiche :

Poiché in realtà la densità dipende solo dalla velocità e non dalle coordinate di latitudine e longitudine, si può integrare sulle variabili ottenendo:

Inoltre, avendo preso come modello un gas perfetto, non interagente, tutta l'energia delle particelle è dovuta al termine cinetico, quindi la loro energia totale è , possiamo esprimere questa probabilità come probabilità di energia:

Dal punto di vista microscopico, ci aspettiamo che gli urti tra le particelle siano totalmente elastici; la probabilità di avere un urto tra due particelle a diverse energie sarà allora pari a , posto ovviamente che e siano due eventi indipendenti tra loro. Allora, se da un urto tra due particelle a diverse energie con rispettive velocità e si ottengono le velocità e , allora la probabilità che questo accada è la stessa che dalle velocità e si ottengano e . Per chiarire, valgono le espressioni:

Poiché abbiamo detto che gli urti sono tutti elastici, vale che , da cui otteniamo:

L'unica funzione sensata che rispetti questa condizione è del tipo . Inoltre, deve ovviamente valere che e quindi . Quindi, ritornando alla nostra probabilità di velocità, essendo , possiamo sostituire:


Da queste otteniamo le seguenti espressioni:

Da questa otteniamo la funzione distribuzione di velocità di Maxwell:

Quando le velocità sono grandi, domina il termine esponenziale (che tende ad abbassare la curva), mentre per velocità piccole domina il termine quadratico, che alza la curva.

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