Ricordate le transizioni di fase? Nel piano
era possibile rappresentarle, ottenendo un andamento simile (che varia da sostanza a sostanza) a quello nell'immagine seguente.
In blu il tratto di curva che vogliamo integrare
L'equazione di Clausius-Clapeyron descrive la variazione di pressione in funzione della temperatura durante una transizione di fase, ovvero è una funzione
il cui grafico è la curva di coesistenza che si può vedere nel piano. Per poterla ricavare, consideriamo il ciclo nel piano
evidenziato nell'immagine seguente.
In arancio il ciclo considerato
Quando
, il ciclo tende a un ciclo di Carnot (in approssimazione). Definito il calore durante la transizione come
, possiamo sfruttare il rendimento del ciclo:

Dove
e
sono i volumi saturi allo stato gassoso e liquido, perché abbiamo considerato la transizione liquido-gas. Dall'ultima espressione ricaviamo direttamente l'equazione di Clausius-Clapeyron:

Possiamo anche integrarla per ottenere una funzione esplicita di
, indicata con
la massa molare della sostanza. Se consideriamo il fatto che
, possiamo approssimare
e sostituire al posto di
la sua espressione secondo la legge di stato dei gas, ottenendo:

Integrando:

Questa formula vale per il passaggio liquido-gas con due approssimazioni: la sostanza è approssimata a un gas perfetto e abbiamo considerato
.