Sviluppi relativi alla Lagrangiana ed all'Hamiltoniana

Abbiamo quindi visto che nella formulazione quadridimensionale risulta:

ora:

che, integrando il secondo termine per parti, fornisce:

Notando ora che variare l'estremo superiore dell'integrale equivale a muoversi lungo un moto (in quanto sotto integrale abbiamo l'equazione del moto stesso), l'integrando risulta in realtà nullo proprio perché corrisponde all'equazione di Eulero-Lagrange. Quindi:

siccome la variazione può essere scritta anche banalmente come:

ne consegue che:

Per l'energia risulta:

e siccome per definizione , si ricava l'importante relazione:

da cui:

che permette proprio di ritrovare le equazioni di Hamilton-Jacobi.

Nel caso relativistico, e , quindi:

che è una forma quadratica in . Per ritrovarsi nel limite classico bisogna allora imporre, come mostrato precedentemente, la (Formulazione del principio) , infatti:

mentre per quanto riguarda le derivazioni rispetto alle coordinate spaziali, e sono uguali:

che divisa per fornisce:

che nel limite classico restituisce l'equazione di Hamilton-Jacobi .

Da questa e dalla definizione di quadrimpulso si può definire una forza in maniera banale:

da cui la definizione:

Le componenti spaziali di questo quadrivettore sono:

dove la “forza classica”[1] sarebbe:

per cui:

Per trovare invece la componente temporale di si calcola il prodotto scalare con e si sfrutta il fatto che e sono ortogonali. Si deduce quindi che , ovvero deve accadere che:

cioé in definitiva:

In relazione alle equazioni del moto, le componenti spaziali danno , mentre la quarta componente fornisce:

ovvero:

ma è il lavoro per unità di tempo, e quindi rappresenta il teorema delle forze vive in forma relativistica:

Pertanto, riassumendo, la contiene sia la seconda legge della dinamica (nelle componenti spaziali) che il teorema delle forse vive (nella componente temporale).

  1. Classica è messo fra virgolette perché è la forma della forza che ci si attenderebbe da una estensione del concetto classico, inserendo semplicemente la definizione di massa relativistica al posto di quella classica.
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