Riscrittura covariante delle equazioni di Maxwell

Abbiamo visto quindi nella (Formulazione dell'interazione) che l'azione di una particella libera e soggetta alla forza elettromagnetica è data da:

e che risulta:

Mostreremo ora che le equazioni di Maxwell sono facilmente riscrivibili in forma covariante in termini del tensore .

In realtà potremo spingerci ben oltre: arriveremo infatti a mostrare che le equazioni di Maxwell sono proprio le equazioni del moto del campo elettromagnetico. Per mostrare ciò, però, sarà necessario trovare una azione “appropriata” che tenga conto del fatto che campo elettromagnetico è un sistema lagrangiano ad infiniti gradi di libertà. Questo ci porterà a studiare prima un formalismo adatto per i sistemi continui per poi giungere finalmente ad un termine per l'azione per il campo elettromagnetico.

Iniziamo quindi con l'esplicitare la forma covariante delle equazioni di Maxwell senza le sorgenti:

Dalla definizione del tensore elettromagnetico (Formulazione dell'interazione) , queste possono essere riscritte facilmente come:

notiamo ora che questa è una combinazione completamente antisimmetrica: il tensore è antisimmetrico e se due indici sono uguali, allora si riduce all'identità . Questa relazione può quindi essere messa in forma compatta utilizzando il tensore completamente antisimmetrico , assumendo la forma:

Notiamo anche che introducendo il tensore duale , queste possono essere scritte come quadridivergenza di questo tensore.

Consideriamo ora invece le due equazioni che contengono le sorgenti:

dove, poiché si parla di punti materiali, le densità sono definite come segue:

In questo caso, l'equazione di continuità fornisce:

da cui, se non dipende da discende la classica equazione di continuità:

ora, considerando che per una carica infinitesima vale e che deve essere invariante di Lorentz,[1] ne risulta che la densità deve trasformare come:

deve pertanto trasformare come un quadrivettore, il che permette di definire il quadrivettore corrente:[2]

L'equazione di continuità diventa in questo caso semplicemente:

ovvero in forma covariante a vista:

Anche le equazioni di Maxwell con le correnti possono allora essere scritte nella forma covariante a vista:

che insieme alla costituiscono le equazioni di Maxwell in forma covariante.

Occorre ora trovare una forma per l'azione completa da associare al campo elettromagnetico.

Siccome , il termine di interazione elettromagnetica contenuto nella (Formulazione dell'interazione) si può riscrivere nella forma:

L'azione ottenuta ora per una particella libera in un campo elettromagnetico comprende il termine di moto della particella ed il termine di interazione della particella con il campo. L'azione completa – che ci permetterà di ricavare completamente le equazioni del moto – dovrà includere anche un termine che coinvolge il campo in sé, ovvero un termine che restituisca le equazioni di Maxwell come equazioni del moto. L'azione finale sarà quindi costituita da tre pezzi che permettono di ritrovare contemporaneamente, una volta applicato il metodo variazionale, le equazioni del moto della particella, le equazioni di Maxwell ed il termine di interazione fra campo e particella.

Come detto più sopra, per ottenere ciò bisogna però prima dire qualcosa sui sistemi continui.


  1. La carica non può cambiare se si cambia sistema di riferimento.
  2. Ancora una volta, per essere formalmente precisi dovremmo dimostrare che la quantità trasforma realmente secondo la matrice di Lorentz. Ancora una volta, qui prenderemo per buono il risultato.
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