Invarianza per Rotazioni spazio–temporali di Lorentz

Invarianza per rotazioni spazio-temporali. Tensore momento angolare[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ora l'invarianza sotto rotazioni spazio-temporali di Lorentz:

che per una trasformazione infinitesima si scrive:[1]

Sapendo che ed è un invariante, e denotando :

da cui, dovendo essere invariante:

ovvero, in definitiva:

e quindi deve essere antisimmetrico.

Se abbiamo a che fare con un campo puramente scalare:

la quantità conservata è come al solito:

ma:

da cui per l'antisimmetria di :

pertanto:

ricordando ora che è antisimmetrico, la relazione si può riscrivere come:

che, una volta introdotto un tensore momento angolare a tre indici definito come:

permette di scrivere la quantità conservata nella forma:

Riconsideriamo ora la trasformazione infinitesima di Lorentz.

quindi:

la quantità conservata è allora:

che è antisimmetrica. A ben guardare, le componenti spaziali sono proprio le componenti del momento angolare:

la quarta componente fornisce invece:

e deve ovviamente conservarsi anche questa. Allora risulta:

ma è costante e pertanto si può dividere per questa quantità:

con coordinate del baricentro. Siccome è costante e , la sommatoria fornisce una sorta di “velocità totale”:

e questa è in effetti l'equazione del centro di massa.

Fin qua, quello che riguarda i punti materiali.

Applichiamo ora l'invarianza per rotazioni alla densità di Lagrangiana. Sappiamo che nel caso questa dipenda da un campo scalare :

ma applicando direttamente la definizione di variazione alla Lagrangiana:

ma non dipende dalle , pertanto: è una divergenza. Per le correnti conservate consideriamo:

da cui:

ovvero:

che grazie alla proprietà di antisimmetria si può scrivere:

dunque in analogia al caso precedente si può scrivere , con 6 correnti conservate:

ed esplicitando le quantità:

che si presenta come una densità di momento angolare ( è la densità di impulso). Le componenti temporali rappresentano analoghe cariche conservate: sono in effetti i generatori delle rotazioni, ovvero delle trasformazioni di Lorentz (boosts). Ora:

dunque il tensore deve essere simmetrico.

Consideriamo ora il caso del campo elettromagnetico, la cui densità di Lagrangiana è data da:

Imponiamo l'invarianza per trasformazioni di Lorentz e ricordiamo la definizione del tensore elettromagnetico:

Per trasformazioni infinitesime risulta:

Ora, ricordiamo questo risultato e calcoliamo la quantità conservata:

ma , da cui sostituendo nell'equazione appena scritta:

e ricordando il risultato  :

siccome lungo un moto risulta :

il primo termine è antisimmetrico, pertanto nella somma degli indici si annulla. Ne risulta quindi il tensore energia-impulso nella forma simmetrica:

Il tensore associato al campo genera quindi delle cariche conservate (del campo) . Il tensore energia–impulso associato alle particelle richiede l'introduzione di una densità di massa:

siccome inoltre con :

e la relazione con il tensore è , per cui:

La densità di massa si può interpretare come la quarta componente di un quadrivettore , ovvero:

che riscritta nella forma:

ne mostra chiaramente la simmetria. Si vede inoltre che risulta:

cioé la somma dei tensori del campo e delle particelle è costante.

  1. La trasformazione più generale del tipo di Lorentz è , che costituisce il cosiddetto Gruppo di Poincaré, mentre la più generale possibile è .
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