Formulazione lagrangiana e hamiltoniana del campo. Azione del campo elettromagnetico

Azione del campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato ora un campo . Come ormai sappiamo la Lagrangiana, l'azione e le equazioni di Eulero–Lagrange sono date da:

Nel caso la Lagrangiana dipenda da più campi, si avranno tante equazioni di Lagrange quanti sono i campi coinvolti. Nel caso di campi vettoriali , la Lagrangiana è funzione di 4 componenti, come se fossero 4 campi scalari indipendenti . Nel caso particolare del campo elettromagnetico, le variabili dinamiche sono proprio i potenziali e devono essere soddisfatte – nel caso di assenza delle sorgenti – le equazioni per il campo liberoe senza sorgenti, ovvero .

Il procedimento che seguiremo ora è il seguente:

  • scrivere le equazioni del moto come variazione dell'azione, in modo che l'annullamento del implichi l'equazione del moto stessa,
  • esplicitare le variazioni dei campi nella scrittura del ,
  • risalire dalla variazione dei campi (e quindi dal ) alla forma che deve avere l'azione.

questo procedimento, che permette di trovare l'azione note le equazioni del moto, è di validità del tutto generale e sarà utilizzato molto spesso nel seguito.

In pratica, in questo caso le equazioni del moto ricercate sono :

da cui si ricava immediatamente la forma dell'azione:

il che implica che il termine della Lagrangiana associato al “moto” del campo è dato da:

Al termine di azione ricavato in Riscrittura covariante delle equazioni di Maxwell per una particella in un campo magnetico:

deve dunque essere aggiunto il termine appena ricavato, ottenendo l'azione totale:

Trascurando ora la parte relativa alla particella libera già nota, applichiamo il metodo variazionale alla parte di Lagrangiana relativa al campo elettromagnetico. Questo ci permetterà di trovare il valore corretto per la costante utilizzando le equazioni di Maxwell con le sorgenti:[1]

Ora, imporre che la variazione dell'azione sia nulla significa imporre che:

e dal confronto con le equazioni di Maxwell con le sorgenti si ricava il valore della costante . Il termine della densità di lagrangiana relativa al “moto” del campo è pertanto:

il quale – ricordando che è un invariante che vale – si può riscrivere come . L'azione completa per una particella interagente con un campo elettromagnetico è quindi:

che comprende in sé le equazioni del moto della particella, le equazioni del campo (Maxwell) e il termine di interazione fra i due.

Al fine di impostare il formalismo Hamiltoniano, occorre trovare la variabile coniugata con . Detta questa :

la cui quarta componente fornisce:

infatti . Siccome risulta () ([2]), ne consegue che . Non esiste quindi una variabile coniugata con , ed in effetti queste componenti non sono indipendenti per l'arbitrarietà della scelta di Gauge.

Per le altre componenti:

ovvero:

siccome vale:

segue:

cioé il momento coniugato della variabile è proprio la componente del campo elettrico lungo . Le variabili hamiltoniane sono quindi:

Si può ora scrivere la densità di Hamiltoniana utilizzando la relazione trovata in Formalismo Hamiltoniano:

che tenendo presente la seguente:

assume la forma:

da cui la forma definitiva della densità Hamiltoniana:

L'Hamiltoniana si ottiene naturalmente integrando la relazione precedente. Integrando per parti il secondo termine della si ottiene un termine , che è nullo in virtù delle equazioni di Maxwell, pertanto l'Hamiltoniana del campo elettromagnetico è data in definitiva da:

Consideriamo ora le seconde equazioni di Maxwell ma senza le sorgenti:

ma è il dalambertiano in forma quadridimensionale, pertanto la seconda coppia di equazioni di Maxwell in termini del potenziale è data da:

che è esattamente un'equazione delle onde scritta per il potenziale, cosa resa ancora più evidente dalla scelta della Gauge di Lorentz che la rende covariante a vista e mette le quattro componenti sullo stesso piano.

Se si opera con formalismo hamiltoniano su tutte e quattro le componenti con la scelta di Gauge fatta, si deve aggiungere un termine proporzionale alla scelta di Gauge stessa. La Lagrangiana che si può prendere in considerazione è la cosiddetta Lagrangiana di Fermi:

prima di ricercare l'Hamiltoniana corrispondente, conviene sviluppare ulteriormente questa Lagrangiana:[3]

il termine di divergenza totale non dà contributi all'Hamiltoniana e si può pertanto trascurare. I due termini in sono nulli per la scelta della Gauge di Lorentz. Pertanto:

I momenti coniugati sono pertanto:

i quali, una volta imposta la condizione , forniscono:[4]

La densità di Hamiltoniana assume quindi la forma:

ed essendo :

ovvero:

quindi, conservando la formulazione covariante a vista, l'Hamiltoniana non è più definita positiva. Questo è il problema della quantizzazione in forma covariante: l'Hamiltoniana non definita positiva implica che esistano degli stati quantistici ad energia minore di zero, cosa che è tuttavia esclusa dalla condizione .

  1. Nel secondo passaggio si è sfruttata la relazione .
  2. Il calcolo esplicito:
  3. Nel quarto passaggio si è integrato per parti.
  4. Si noti, incidentalmente, che l'equazione di Eulero scritta rispetto a fornisce:
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