Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

Si consideri un sistema fisico descritto da una Hamiltoniana $H_{0}$$H_0$, il cui spettro si suppone completamente noto. Questo sistema fisico è allora detto essere noto con precisione.

Si supponga ora di voler studiare un sistema fisico che può essere descritto da una Hamiltoniana della forma:

$$H=H_{0}+\epsilon H_{1}$$

$$H = H_0 + \epsilon H_1$$

con $\epsilon$$\epsilon$ parametro adimensionale piccolo e $H_{1}$$H_1$ un operatore di cui sono noti gli elementi di matrice.

Nel caso pratico, accade spesso che il sistema in studio sia descritto da una Hamiltoniana $H$$H$ non trattabile, nel senso che non sia facile o possibile diagonalizzare, ma che sia possibile separare in una parte nota $H_{0}$$H_0$ (chiamata Hamiltoniana imperturbata) ed una parte non trattabile moltiplicata appunto per un parametro adimensionale. In genere, questo parametro si può estrarre moltiplicando e dividendo opportunamente.

Si denoti con $|\varphi _{n}\rangle$$|\varphi_n\rangle$l'autostato relativo all'Hamiltoniana imperturbata con autovalore dell'energia $E_{n}^{(0)}$$E_n^{(0)}$ e con $|\psi _{l}\rangle$$|\psi_l\rangle$una funzione d'onda (autostato sconosciuto) dell'Hamiltoniana completa $H$$H$ relativa all'autovalore $E_{l}$$E_l$. Risulta quindi:

$${\begin{aligned}H_{0}|\varphi _{n}\rangle &=E_{n}^{(0)}|\varphi _{n}\rangle \\H|\psi _{l}\rangle =\left(H_{0}+\epsilon H_{1}\right)|\psi _{l}\rangle &=E_{l}|\psi _{l}\rangle \end{aligned}}$$

$$\begin{align} H_0 |\varphi_n\rangle &= E_n^{(0)}|\varphi_n\rangle \\ H|\psi_l\rangle = \left(H_0+\epsilon H_1\right)|\psi_l\rangle &= E_l |\psi_l\rangle \end{align}$$

Per poter proseguire nello studio dello spettro dell'Hamiltoniana completa, è necessario fare alcune ipotesi.

• Ipotesi di sviluppabilità degli autovalori. Si suppone che ogni autovalore $E_{l}$$E_l$ sia scrivibile come uno sviluppo in serie di potenze di $\epsilon$$\epsilon$:

$$E_{l}=\sum _{n=0}^{\infty }\epsilon ^{n}E_{l}^{(n)}=E_{l}^{(0)}+\epsilon E_{n}^{(1)}+\epsilon ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$$

$$E_l = \sum_{n=0}^\infty \epsilon^n E_l^{(n)} = E_l^{(0)} + \epsilon E_n^{(1)} + \epsilon^2 E_n^{(2)} + \cdots$$

Considerare l'autovalore imperturbato come primo termine di questo sviluppo in serie è sensato perché per $\epsilon =0$$\epsilon=0$ l'Hamiltoniana $H$$H$ si riduce a quella imperturbata $H_{0}$$H_0$ e così quindi deve fare l'autovalore;

• $H$$H$ e $H_{0}$$H_0$ hanno lo stesso dominio di autoaggiuntezza. Siccome le $|\varphi _{n}\rangle$$|\varphi_n\rangle$sono una base di autofunzioni di $H_{0}$$H_0$, questa ipotesi permette di dire che le $|\varphi _{n}\rangle$$|\varphi_n\rangle$sono una base anche per $H$$H$ e che quindi l'autofunzione $|\psi _{l}\rangle$$|\psi_l\rangle$dell'Hamiltoniana completa si può scrivere come combinazione lineare di queste autofunzioni:

$$|\psi _{l}\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{nl}|\varphi _{n}\rangle$$

$$|\psi_l\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} a_{nl}|\varphi_n\rangle$$

questa ipotesi sarà utilizzata più avanti. Per ora si farà l'ipotesi che l'autostato sconosciuto $|\psi _{l}\rangle$$|\psi_l\rangle$sia esprimibile anch'esso in termini di una serie in $\epsilon$$\epsilon$ intorno all'autostato imperturbato:

$$|\psi _{l}\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\epsilon ^{n}|\psi _{l}^{(n)}\rangle =|\psi _{l}^{(0)}\rangle +\epsilon |\psi _{l}^{(1)}\rangle +\epsilon ^{2}|\psi _{l}^{(2)}\rangle +\cdots$$

$$|\psi_l\rangle = \sum_{n=0}^\infty \epsilon^n |\psi^{(n)}_l\rangle = |\psi^{(0)}_l\rangle + \epsilon |\psi^{(1)}_l\rangle + \epsilon^2 |\psi^{(2)}_l\rangle + \cdots$$

considerare il primo termine dello sviluppo come l'autofunzione imperturbata, indicato qui con $|\psi _{l}^{(0)}\rangle$$|\psi^{(0)}_l\rangle$, è ancora una volta sensato perché per $\epsilon =0$$\epsilon=0$ l'Hamiltoniana si riduce a quella imperturbata e così devono fare le autofunzioni.

Questi sviluppi in serie prendono il nome di serie perturbative.