Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo

Nel caso in cui il termine perturbativo dipende dal tempo si parla di teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Si tratta in questo caso di un sistema non isolato in cui non si conserva l'energia, per cui il problema da risolvere non sarà quello di determinare le autofunzioni (che fra l'altro cambiano da un istante all'altro), piuttosto quello di trovare la probabilità che un sistema nello stato all'istante si trovi nello stato all'istante .

Se l'Hamiltoniana del sistema è esprimibile come o, secondo un'altra notazione molto diffusa, come:

ovvero come un'Hamiltoniana imperturbata (che si suppone nota) e un termine dipendente dal tempo, il problema si può ricondurre al problema di valutare la probabilità di transizione fra un autostato di all'istante iniziale verso un altro autostato di all'istante finale . Se il termine è piccolo, si può impostare uno sviluppo perturbativo di questa probabilità di transizione. Per fare ciò è necessario però introdurre anche l'ipotesi di approssimazione adiabatica: ovvero che la perturbazione vari lentamente rispetto ai tempi caratteristici del sistema in modo che abbia senso la scrittura:[1]

Si suppone inoltre che la perturbazione sia limitata nel tempo (ipotesi adiabatica), ovvero che:

La funzione d'onda che descrive lo stato in questo caso deve ovviamente soddisfare l'equazione di Schrödinger:

Questa funzione d'onda può essere sviluppata in termini di autofunzioni dell'Hamiltoniana imperturbata:

sviluppo che può essere sostituito nell'equazione di Schrödinger:

Proiettando ora sullo stato , sfruttando le proprietà di ortonormalità delle autofunzioni imperturbate e il fatto che è diagonale nella sua base:

dove la dipendenza dalle coordinate spaziali è stata omessa e si è denotato con l'elemento di matrice per allegerire la notazione. Se sul sistema non agisse alcuna perturbazione, il termine sarebbe nullo e l'equazione si ridurrebbe ad una separazione delle variabili, fornendo la nota soluzione:

con coefficienti costanti ricavabili a partire dalle condizioni iniziali. Nel caso sul sistema agisca una perturbazione dipendente dal tempo, si fa l'ipotesi che il sistema continui ad essere descritto dalla stessa equazione, ma con i coefficienti dipendenti dal tempo (che corrisponde in pratica ad utilizzare l'approssimazione adiabatica):

che sostituita nella equazione precedente fornisce:

Eliminando il termine comune (che fra l'altro non si annulla mai) e ponendo (frequenza di Bohr) si giunge alla forma:

Si noti che se la perturbazione si annulla, i coefficienti diventano indipendenti dal tempo in quanto descrivono la soluzione della ben nota equazione di Schrödinger dipendente dal tempo ma con una Hamiltoniana indipendente dal tempo. Ne consegue che la dipendenza dal tempo della perturbazione è tutta contenuta nei coefficienti .

L'ipotesi adiabatica permette di stabilire che per i coefficienti devono diventare costanti e noti, perché lo stato iniziale del sistema si suppone noto[2]. Per comodità si può supporre che lo stato iniziale sia un'autostato dell'energia , per cui:

Durante la perturbazione, i coefficienti cambieranno e saranno diversi da zero, in quanto la perturbazione provoca delle transizioni dallo stato iniziale verso altri stati. Dopo che la perturbazione ha agito (quindi per ), il sistema si troverà in uno stato , ed i coefficienti rappresenteranno le probabilità di trovarsi nei vari stati finali. Questi coefficienti prendono quindi il nome di ampiezze di transizione.

Le equazioni in rappresentano un sistema di infinite equazioni differenziali al primo ordine in nelle funzioni . Questo sistema può essere risolto in modo relativamente semplice in maniera iterativa se si fa l'ipotesi che le ampiezze di transizione si possano espandere in serie di potenze di , ovvero che valga la relazione:

Si può quindi inserire questo sviluppo nelle equazioni differenziali per ottenenedo:

ed eguagliando le potenze corrispondenti in si ricavano le relazioni di ricorrenza:

Dalla prima di queste si vede subito che i coefficienti all'ordine 0 sono costanti nel tempo:

questo è coerente, in quanto l'ordine corrisponde all'Hamiltoniana imperturbata e quindi lo sviluppo in autostati è quello indipendente dal tempo. I coefficienti all'ordine 0 valgono quindi dove indica l'autostato iniziale.

Sostituendo il valore di nell'equazione al primo ordine si ottiene:

che può essere immediatamente integrata rispetto al tempo:

dove si è fatto partire l'integrale da , tenendo conto che si deve annullare per e che la perturbazione non ha ancora cominciato ad agire (per il principio di causalità, il coefficiente può dipendere solo dalle condizioni iniziali e da , ). Analogamente, se si aggiunge il termine 0 e si estende l'integrazione fino a si ottiene l'ampiezza di transizione completa al primo ordine:

questo integrale rappresenta la trasformata di Fourier dell'elemento di matrice della perturbazione calcolata alla frequenza di Bohr della transizione. Per avere senso, l'integrale deve convergere e la convergenza è assicurata proprio dall'approssimazione adiabatica. Inoltre, se la perturbazione dura un tempo finito fra e , allora l'integrale è di fatto limitato a questo intervallo, perché per e per l'integrando[3] è nullo.

In definitiva, dopo che è cessata la perturbazione la probabiltà di transizione dallo stato iniziale allo stato è data al primo ordine da:

mentre la probabilità di restare nello stato è data evidentemente da:

L'insieme di equazioni ricorrenti in permette di ricavare, per ricorrenza appunto, il termine al secondo ordine (e più in generale tutti gli altri). Per ricavare questo termine conviene tuttavia cambiare la rappresentazione, e passare da quella di Schrödinger a quella di Dirac o di interazione . Per fare questo occorre effettuare la trasformazione unitaria sui vettori di stato e sugli operatori:

e applicando questa trasformazione allo sviluppo in termini di autofunzioni si ricava:[4]

per cui i coefficienti dello sviluppo sono proprio i coefficienti di sviluppo dello stato nella rappresentazione di interazione.[5]

Risulta quindi chiaro che in assenza del termine pertubativo , la rappresentazione di interazione si riduce a quella di Heisemberg,[6] e l'equazione del moto risulta:

dove con si è indicato il termine perturbativo nella rappresentazione di interazione. Sostituendo lo sviluppo in autofunzioni nella rappresentazione di interazione nell'equazione del moto appena scritta si ricava:

e proiettando come al solito sull'autostato :

ovvero:

dove con si è indicato l'elemento di matrice .[7]

Introducendo lo sviluppo delle si ritrovano le stesse equazioni iterative, scritte però nella rappresentazione di interazione:

dove la soluzione al primo ordine è evidentemente ancora:

La correzione al secondo ordine si ottiene facilmente in funzione di quella al primo ordine:

integrando sul tempo:

ovvero:

Questa relazione può facilmente essere iterata per ricavare il -simo termine correttivo:

Ricordando che vale e che vale:

dove è l'operatore di evoluzione temporale nella rappresentazione di interazione, allo sviluppo perturbativo dei coefficienti si può far corrispondere lo sviluppo perturbativo di :

che prende il nome di serie di Dyson e i cui termini sono ordinati secondo le potenze della perturbazione.

L'interpretazione fisica di questa serie è abbastanza interessante. Essa mostra che l'evoluzione temporale di un sistema sottoposto a perturbazione può avvenire in diversi modi:

  • il sistema evolve senza intervento della perturbazione , in questo caso l'evoluzione è guidata dall'Hamiltoniana imperturbata. Questo corrisponde al primo termine della serie (ordine zero),
  • il sistema evolve liberamente fino all'istante , quando la perturbazione agisce e successivamente al termine della perturbazione evolve liberamente,
  • il sistema evolve liberamente fino all'istante , quando la perturbazione agisce e termina, successivamente evolve liberamente fino all'istante quando la perturbazione agisce di nuovo e al termine di questa seconda perturbazione evolve liberamente,
  • i termini successivi rappresentano la perturbazione che interagisce a diverse riprese, l'ordine k-simo rappresenta la perturbazione che interviene in istanti successivi
La probabilità di arrivare allo stato finale partendo dallo stato iniziale è data in meccanica quantistica dalla somma su tutte le possibilità (si ricordi che se un evento può accadere in diversi modi indistinguibili, allora occorre sommare le ampiezze relative ai vari modi), il che dà origine proprio alla serie di Dyson.
  1. Questo equivale a dire che si possono trascurare le probabilità di transizione fra un livello e l'altro del sistema e che i livelli di energia variano lentamente nel tempo.
  2. E quindi sono noti i coefficienti costanti dello sviluppo in serie di autovalori.
  3. Ovvero: .
  4. Si applica l'operatore a entrambi i membri e si nota che
  5. La rappresentazione di interazione o di Dirac è una rappresentazione della meccanica quantistica che si colloca a metà strada fra la rappresentazione di Schrödinger considerata finora e quella di Heisemberg. La rappresentazione di Schrödinger, trattata nel paragrafo §\ref{ref:EvoluzioneTemporale} , prevede che l'evoluzione nel tempo sia dettata dall'operatore temporale \ref{eq:Rappresentazione_Schrodinger} che agisce sullo stato del sistema, mentre gli osservabili sono indipendenti dal tempo. Nella rappresentazione di Heisemberg, invece, sono i vettori di stato ad essere costanti nel tempo mentre gli osservabili evolvono temporalmente secondo la . Nella rappresentazione di interazione, sia il vettore di stato che l'operatore osservabile evolvono nel tempo, anche se in maniera diversa. Questa rappresentazione, definita rispetto alla rappresentazione di Schrödinger dalle equazioni perturbative introdotte al principio del Caso non degenere è particolarmente utile in questo contesto perché permette di “scaricare” la dipendenza temporale dell'Hamiltoniana sugli operatori, mentre l'evoluzione temporale degli stati risulta determinata dalla sola .
  6. Evidentemente, se l'evoluzione degli stati è determinata dal solo termine perturbativo, se questo si annulla gli stati sono indipendenti dal tempo e quindi l'evoluzione temporale è contenuta nei soli operatori: la rappresentazione si riduce a quella di Heisemberg.
  7. Si noti che questa equazione coincide con l'equazione differenziale in , in quanto:
    Questo è perfettamente logico, in quanto si tratta della stessa interazione, solamente scritta in due rappresentazioni diverse.
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