Oscillatori accoppiati

Un sistema di oscillatori accoppiati presenta due oscillatori armonici che sono soggetti anche a una forza di mutua interazione. L'esempio più semplice che possiamo fare è quello di due punti collegati attraverso due molle a dei supporti fermi, ad esempio un muro, che sono a loro volta collegati tra loro da un'altra molla. Per semplicità, consideriamo le due masse uguali, ovvero $m_{1}=m_{2}=m$ $m_1 = m_2 =m$ , le costanti elastiche delle due molle agli estremi uguali, pari a $k$ $k$ , e la costante della molla centrale $k_{12}$ $k_{12}$ essere $k_{12}<<k$ $k_{12} <<k$ .

Per definire le posizioni dei corpi sfruttiamo le lunghezze a riposo delle due molle: chiameremo $x_{1}$ $x_{1}$ la distanza del corpo 1 dalla lunghezza a riposo della molla 1, mentre $x_{2}$ $x_{2}$ è la distanza del corpo 2 dalla lunghezza a riposo della molla 2. Considerato l'effetto della molla centrale, avremo che il corpo di destra sarà spostato dalla lunghezza a riposo verso il centro, quindi verso destra, mentre il corpo di sinistra sarà spostato verso sinistra in direzione del centro. Preso un sistema di riferimento rettilineo e parallelo e al piano, crescente da sinistra verso destra, avremo che:

{\displaystyle \begin{align} &x_1 \text{ allungamento corpo }1 \\ -&x_2 \text{ allungamento corpo }2 \end{align} }

L'allungamento della molla centrale sarà quindi pari a $x_{2}-x_{1}$ $x_2 - x_1$ . Il sistema che si ottiene è un sistema a due gradi di libertà.

Le forze che agiscono sui corpi sono invece:

{\displaystyle \begin{align} &f= -k x_1 \text{ forza molla }1 \\ &f= -k x_2 \text{ forza molla }2 \\ &f= k_{12}(x_2 - x_1) \text{ forza molla centrale sul corpo }1 \\ &f= k_{12}(x_2 - x_1) \text{ forza molla centrale sul corpo }2 \end{align} }

Otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali:

{\begin{cases}&m{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}={\underset {\text{forza di}}{\underbrace {-kx_{1}} }}+{\underset {\text{forza di}}{\underbrace {k_{12}(x_{2}-x_{1})} }}\\&m{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=\overbrace {-kx_{2}} ^{\text{richiamo}}+\overbrace {k_{12}(x_{2}-x_{1})} ^{\text{interazione}}\end{cases}}

{\displaystyle \begin{cases} &m \frac{d^2 x_1}{dt^2}= \underset{\text{forza di}}{\underbrace{-kx_1}} + \underset{\text{forza di}}{\underbrace{k_{12}(x_2 - x_1)}} \\ &m \frac{d^2 x_2}{dt^2}= \overbrace{-kx_2}^{\text{richiamo}} + \overbrace{k_{12}(x_2 - x_1)}^{\text{interazione}} \end{cases} }

Esplicitando i termini otteniamo:

{\begin{cases}&{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {k+k_{12}}{m}}x_{1}={\frac {k_{12}}{m}}x_{2}\,\,\,[1]\\&{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+{\frac {k+k_{12}}{m}}x_{2}={\frac {k_{12}}{m}}x_{1}\,\,\,[2]\end{cases}}

{\displaystyle \begin{cases} &\frac{d^2 x_1}{dt^2} + \frac{k + k_{12}}{m} x_1 = \frac{k_{12}}{m}x_2 \, \, \, [1] \\ &\frac{d^2 x_2}{dt^2} + \frac{k + k_{12}}{m} x_2 = \frac{k_{12}}{m}x_1 \, \, \, [2] \end{cases} }

In questo due sistema sono presenti due oscillatori accoppiati, in cui il moto di uno è in funzione del moto dell'altro. Un modo per disaccoppiarli è attraverso il metodo dei moti normali: si trovano due moti e si fa in modo che le equazioni degli oscillatori siano combinazione lineare dei moti normali. Per fare ciò definiamo due nuovi termini:

x= \frac{x_1 + x_2}{2} \quad y= \frac{x_1 - x_2}{2}

A questo punto, compiamo due operazioni. Prima sommiamo le equazioni $[1]$ $[1]$ e $[2]$ $[2]$ e le dividiamo per 2; dopo le sottraiamo e le dividiamo nuovamente per due, ottenendo le equazioni del moto di $x$ $x$ e $y$ $y$ :

{\displaystyle \begin{cases} &\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x =0 \\ &\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{k + 2k_{12}}{m}y =0 \end{cases} }

Notiamo immediatamente che sono due oscillatori disaccoppiati, e ne conosciamo la soluzione:

{\displaystyle \begin{align} &x= x_0 \sin ( \omega_o t + \varphi_0) \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &y= y_0 \sin ( \bar{\omega}t+ \bar{\varphi} ) \quad \bar{\omega} = \sqrt{ \frac{k + 2k_{12}}{m}} \end{align} }

Ricordando le definizioni di $x$ $x$ e $y$ $y$ :

{\begin{aligned}&x_{1}=x+y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+\varphi _{0})+y_{0}\sin({\bar {\omega }}t+{\bar {\varphi }})\\&x_{2}=x-y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+\varphi _{0})-y_{0}\sin({\bar {\omega }}t+{\bar {\varphi }})\end{aligned}}

{\displaystyle \begin{align} &x_1 = x+y = x_0 \sin ( \omega_o t + \varphi_0) + y_0 \sin ( \bar{\omega}t+ \bar{\varphi} ) \\ &x_2 = x-y = x_0 \sin ( \omega_o t + \varphi_0) - y_0 \sin ( \bar{\omega}t+ \bar{\varphi} ) \end{align} }

I moti $x(t)$ $x(t)$ e $y(t)$ $y(t)$ sono i due moti normali; come possiamo notare, $x_{1}$ $x_{1}$ e $x_{2}$ $x_{2}$ sono due combinazioni lineari dei moti normali.

Un'osservazione rapida che possiamo fare è che, se $y_{0}=0$ $y_0=0$ la molla centrale non si allunga, ma i due corpi oscillano parallelamente.

Finiamo di studiare il caso, semplificando il problema. Poniamo quindi: $\varphi ={\bar {\varphi }}=0$ $\varphi= \bar{\varphi} = 0$ e $x_{0}=y_{0}$ $x_0=y_0$ , con $x_{2}=0$ $x_2 = 0$ al tempo $t=0$ $t=0$ . Le due equazioni diventano così:

{\displaystyle \begin{align} &x_1 = x+y = x_0 \sin ( \omega_o t + ) + x_0 \sin ( \bar{\omega}t+ ) \\ &x_2 = x-y = x_0 \sin ( \omega_o t + ) - x_0 \sin ( \bar{\omega}t+ ) \end{align} }

Utilizzando le regole di prostaferesi terminiamo finalmente lo studio ottenendo le due equazioni finali del moto:

{\begin{aligned}&x_{1}=2x_{0}\sin \left({\frac {\omega _{0}+{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\cos \left({\frac {\omega _{0}-{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\\&x_{2}=2x_{0}\sin \left({\frac {\omega _{0}-{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\cos \left({\frac {\omega _{0}+{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\end{aligned}}

{\displaystyle \begin{align} &x_1 = 2 x_0 \sin \left( \frac{\omega_0 + \bar{\omega}}{2} t \right) \cos \left( \frac{ \omega_0 - \bar{\omega}}{2} t \right) \\ &x_2 = 2 x_0 \sin \left( \frac{\omega_0 - \bar{\omega}}{2} t \right) \cos \left( \frac{ \omega_0 + \bar{\omega}}{2} t \right) \end{align} }