Oscillatori accoppiati

Un sistema di oscillatori accoppiati presenta due oscillatori armonici che sono soggetti anche a una forza di mutua interazione. L'esempio più semplice che possiamo fare è quello di due punti collegati attraverso due molle a dei supporti fermi, ad esempio un muro, che sono a loro volta collegati tra loro da un'altra molla. Per semplicità, consideriamo le due masse uguali, ovvero , le costanti elastiche delle due molle agli estremi uguali, pari a , e la costante della molla centrale essere .

Per definire le posizioni dei corpi sfruttiamo le lunghezze a riposo delle due molle: chiameremo la distanza del corpo 1 dalla lunghezza a riposo della molla 1, mentre è la distanza del corpo 2 dalla lunghezza a riposo della molla 2. Considerato l'effetto della molla centrale, avremo che il corpo di destra sarà spostato dalla lunghezza a riposo verso il centro, quindi verso destra, mentre il corpo di sinistra sarà spostato verso sinistra in direzione del centro. Preso un sistema di riferimento rettilineo e parallelo e al piano, crescente da sinistra verso destra, avremo che:

L'allungamento della molla centrale sarà quindi pari a . Il sistema che si ottiene è un sistema a due gradi di libertà.

Le forze che agiscono sui corpi sono invece:

Otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali:

Esplicitando i termini otteniamo:

In questo due sistema sono presenti due oscillatori accoppiati, in cui il moto di uno è in funzione del moto dell'altro. Un modo per disaccoppiarli è attraverso il metodo dei moti normali: si trovano due moti e si fa in modo che le equazioni degli oscillatori siano combinazione lineare dei moti normali. Per fare ciò definiamo due nuovi termini:

A questo punto, compiamo due operazioni. Prima sommiamo le equazioni e e le dividiamo per 2; dopo le sottraiamo e le dividiamo nuovamente per due, ottenendo le equazioni del moto di e :

Notiamo immediatamente che sono due oscillatori disaccoppiati, e ne conosciamo la soluzione:

Ricordando le definizioni di e :

I moti e sono i due moti normali; come possiamo notare, e sono due combinazioni lineari dei moti normali.

Un'osservazione rapida che possiamo fare è che, se la molla centrale non si allunga, ma i due corpi oscillano parallelamente.

Finiamo di studiare il caso, semplificando il problema. Poniamo quindi: e , con al tempo . Le due equazioni diventano così:

Utilizzando le regole di prostaferesi terminiamo finalmente lo studio ottenendo le due equazioni finali del moto:

 Precedente