Oscillatore armonico

L'oscillatore armonico semplice è un sistema fisico il cui stato dinamico è descritto dall'equazione differenziale:

dove è una grandezza fisica che oscilla con legge armonica.

I fenomeni periodici sono frequentissimi in natura. Nei capitoli precedenti abbiamo visto alcuni esempi: il pendolo (semplice e composto) e il sistema molla-punto materiale. Per il pendolo, il moto è armonico semplice solo per piccoli spostamenti dalla verticale. Se gli angoli sono grandi il moto è ancora periodico, ma non armonico. Allo stesso modo, la legge di Hooke è un'approssimazione del comportamento di una molla, tanto migliore quanto gli allungamenti sono piccoli. E' quindi importante rendersi conto che la condizione di oscillatore armonico semplice si verifica per un sistema che si allontana di poco da una posizione di equilibrio.

Con i metodi dell'Analisi Matematica si può dimostrare che la soluzione più generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico semplice è:

che può essere riscritta come

ponendo e . L'ampiezza e la fase sono determinate dalle condizioni iniziali del moto.

Può capitare che in alcune situazioni ci si trovi di fronte all'equazione differenziale non omogenea

dove è una qualsiasi funzione del tempo. In questo caso la soluzione più generale è:

dove è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un esempio chiarirà le idee. Consideriamo una molla appesa verticalmente al soffitto, a cui è appesa una massa . La molla viene tirata leggermente e lasciata andare. Vogliamo trovare la legge oraria del moto. Per la seconda legge della dinamica abbiamo che:

ponendo ci riconduciamo all'equazione differenziale non omogenea

Una soluzione particolare di questa equazione è . Dalle condizioni iniziali abbiamo che:

Quindi la legge oraria è:

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