Teorema delle accelerazioni relative

Nel capitolo precedente abbiamo visto come varia la descrizione della velocità di un punto osservato in diversi sistemi di riferimento. Il passo successivo è naturalmente osservare cosa accade per l'accelerazione. L'accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso è

$${\vec {a}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\hat {i}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\hat {j}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\hat {k}}$$

$${\vec {a}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\hat {i}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\hat {j}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\hat {k}}$$

l'accelerazione di P misurata dal sistema mobile è

$${\vec {a}}'={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}$$

$${\vec {a}}'={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}$$

Infine, l'accelerazione dell'origine $O'$$O'$ rispetto a $O$$O$ è

$${\vec {a}}_{O'}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}$$

$${\vec {a}}_{O'}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}$$

Andiamo ora a derivare rispetto al tempo il teorema delle velocità relative

$${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}+{\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}$$

$${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}+{\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}$$

Calcoliamo $d{\vec {v}}'/dt$$d{\vec {v}}'/dt$:

$${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}\right)={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}+$$

$${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}\right)={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}+$$

$$+{\frac {dx'}{dt}}{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+{\frac {dy'}{dt}}{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+{\frac {dz'}{dt}}{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}$$

$$+{\frac {dx'}{dt}}{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+{\frac {dy'}{dt}}{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+{\frac {dz'}{dt}}{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}$$

Ricordando ora che la derivata del versore si può scrivere come prodotto vettoriale tra </omega> e il versore possiamo scrivere

$${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

$${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

Dal capitolo precedente sappiamo poi che

$${\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{O'}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$$

$${\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{O'}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$$

quindi

$${\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)$$

$${\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)$$

Pertanto l'equazione che lega le accelerazioni misurate in due sistemi di riferimento in moto relativo è:

$${\vec {a}}={\vec {a}}'+{\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

$${\vec {a}}={\vec {a}}'+{\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

che esprime il teorema delle accelerazioni relative.

Quindi l'accelerazione che misura un osservatore del sistema mobile è

$${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

$${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

Il termine

$${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'$$

$${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'$$

si chiama accelerazione di trascinamento, mentre l'ultimo termine

$${\vec {a}}_{c}=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

$${\vec {a}}_{c}=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$$

si chiama accelerazione di Coriolis, di cui parleremo ampiamente nel capitolo sulle forze apparenti.