Moto parabolico dei corpi

Il moto parabolico è un moto bidimensionale combinazione di due moti rettilinei simultanei ed indipendenti (non si influenzano), uno rettilineo uniforme ed uno uniformemente accelerato.

Moto di un proiettile lanciato con velocità $V_{0}$$V_0$ e angolo $\theta$$\theta$ all'origine.

In questo caso il proiettile subisce accelerazione costante lungo l'asse y per effetto della forza di gravità, mentre sull'asse x il moto è uniforme in quanto non agiscono forze e non vi è accelerazione. Vediamo dunque che si tratta di un esempio di moto parabolico.

Condizioni iniziali

$$\left\{{\begin{aligned}&X_{0}=0\\&y_{0}=0\\\end{aligned}}\right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &X_0=0 \\ &y_0=0 \\ \end{aligned} \right.$$

$$\left\{{\begin{aligned}&V_{0x}=V_{0}\cos \theta \\&V_{0y}=V_{0}\sin \theta \\\end{aligned}}\right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &V_{0x}=V_0 \cos \theta \\ &V_{0y}=V_0\sin \theta \\ \end{aligned} \right.$$

Scomposizione del moto

$$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=x_{0}+V_{0x}t\\&y(t)=V_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\\\end{aligned}}\right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &x(t)=x_0+V_{0x}t \\ &y(t)=V_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2 \\ \end{aligned} \right.$$

$$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=V_{0}\cos \theta \cdot t\qquad [1]\\&y(t)=V_{0}sin\theta \cdot t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\qquad [2]\\\end{aligned}}\right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &x(t)=V_0\cos \theta \cdot t\qquad [1]\\ &y(t)=V_0 sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}gt^2\qquad [2]\\ \end{aligned} \right.$$

Traiettoria

Ricavo t dalla [1] e lo sostituisco nella [2] per avere $y(x)$$y(x)$:

$$t={\frac {x}{V_{0}\cos \theta }};$$

$$t=\frac{x}{V_0\cos \theta };$$

$$y(x)=V_{0}\sin \theta {\frac {x}{V_{0}\cos \theta }}-{\frac {g}{2}}\cdot {\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }};$$

$$y(x)=V_0\sin \theta \frac{x}{V_0\cos \theta}-\frac{g}{2}\cdot \frac{x^2}{V_0^2\cos ^2\theta };$$

$$y(x)=\tan \theta x-{\frac {g}{2}}{\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}$$

$$y(x)=\tan \theta x-\frac{g}{2}\frac{x^2}{V_0^2\cos ^2\theta }$$

Gittata

Pongo $y(x)=0$$y(x)=0$ per ricavare lo spazio totale percorso orizzontalmente (e, dunque, la gittata):

$$\tan \theta x-{\frac {g}{2}}{\frac {x^{2}}{V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}=0;$$

$$\tan \theta x-\frac{g}{2}\frac{x^2}{V_0^2\cos ^2\theta }=0;$$

$${\frac {V_{0}\sin \theta x}{V_{0}\cos \theta }}-{\frac {gx^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}=0$$

$$\frac {V_0\sin \theta x}{V_0\cos \theta }-\frac{g x^2}{2V_0^2\cos ^2 \theta}=0$$

$${\frac {2\sin \theta \cos \theta V_{0}^{2}x-gx^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}$$

$$\frac{2\sin \theta \cos \theta V_0^2 x-gx^2}{2V_0^2\cos ^2\theta }$$

Dato che $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta :$$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta:$

$$x(V_{0}^{2}\sin 2\theta -gx)=0;$$

$$x(V_0^2\sin 2\theta -gx)=0;$$

per la legge di annullamento del prodotto, ricavo:

$$x=0$$

$$x=0$$

che è la posizione del punto di lancio, e

$$x={\frac {\sin 2\theta \cdot V_{0}^{2}}{g}}$$

$$x=\frac{\sin 2\theta \cdot V_0^2}{g}$$

che rappresenta la gittata.

Quota massima

Per ricavare la massima quota $y_{max}$$y_{max}$ sostituisco $t_{imp}$$t_{imp}$ nella [2]:

$$y_{max}={\frac {V_{0y}^{2}}{2g}}={\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}$$

$$y_{max}=\frac{V_{0y}^2}{2g}=\frac{V_0^2\sin ^2\theta }{2g}$$