Moto circolare

Moto generico in due dimensioni

Considerata una traiettoria curvilinea su cui viene fissata arbitrariamente un'origine $O$$O$ e il verso di percorrenza:

Definizione (Ascissa curvilinea (l))

Si definisce ascissa curvilinea la lunghezza del tratto di curva che congiunge $x_{1}$$x_{1}$ ad $O$$O$. Se $x_{1}$$x_1$ si trova verso x positive secondo il verso di percorrenza stabilito l'ascissa curvilinea $x_{1}O$$x_1O$ o $Ox_{1}$$Ox_1$ è positiva, se $x_{1}$$x_{1}$ si trova verso x negative l'ascissa curvilinea è negativa. La velocità del punto definisce la concordanza tra il verso fissato e il verso di percorrenza della curva: velocità positive sono quelle che fanno muovere il punto secondo il verso fissato, negative quelle che lo fanno muovere nel verso opposto

 

La velocità media

$$V_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$$

$$V_m (t_1,t_2) =\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$$

è rappresentata dal vettore che ha stessa direzione del segmento $x_{1}x_{2}$$x_1x_2$ e verso coincidente con quello del moto. Si può quindi notare come, ancor meno che nel moto a una dimensione, la velocità media dia informazioni poco dettagliate riguardo al moto del punto.

Applicando l'operazione di limite si ottiene la velocità istantanea

$$V=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}V_{m}(t,t+\Delta t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta X}{\Delta t}}={\frac {dX}{dt}}$$

$$V = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}V_m(t, t+\Delta t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta X}{\Delta t} = \frac{dX}{dt}$$

il cui vettore è tangente alla traiettoria nella posizione $x_{1}$$x_{1}$ in cui si trova il punto nell'istante $t$$t$ considerando.

Derivando una seconda volta si ottiene l'accelerazione istantanea

$$a=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$$

$$a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$$

il cui vettore è parallelo al raggio di curvatura in $x_{1}$$x_{1}$, dunque perpendicolare al vettore $v(t)$$v(t)$.

Scomposizione generica del moto in 3 dimensioni

${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ sono versori, e sono quindi costanti in tutto lo spazio. ${\vec {x}}(t)$${\vec {x}}(t)$ è il versore posizione. Scomponendolo sui tre assi x, y e z si ottiene:

$${\vec {x}}(t)=x(t)\cdot {\hat {i}}+y(t)\cdot {\hat {j}}+z(t)\cdot {\hat {k}}$$

$$\vec{x}(t)=x(t)\cdot\hat{i}+y(t)\cdot\hat{j}+z(t)\cdot\hat{k}$$

Ricavo, a partire dalla scomposizione di ${\vec {x}}(t)$${\vec {x}}(t)$, la scomposizione sui tre assi del vettore velocità ${\vec {v}}(t)$${\vec {v}}(t)$:

$${\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz}{dt}}{\hat {k}}$$

$$\vec{v}(t)=\frac{d\vec{x}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}$$

Sapendo inoltre che

$${\vec {v}}(t)=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}+v_{z}{\hat {k}}$$

$$\vec{v}(t)=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$$

Deduco la seguente uguaglianza

$$v_{x}={\frac {dx}{dt}};\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}};\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}$$

$$v_x=\frac{dx}{dt}; \qquad v_y=\frac{dy}{dt}; \qquad v_z=\frac{dz}{dt}$$

Si può inoltre ricavare la scomposizione sui tre assi del vettore accelerazione ${\vec {a}}(t)$$\vec{a}(t)$:

$${\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dv_{y}}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dv_{z}}{dt}}{\hat {k}}$$

$$\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\hat{i}+\frac{dv_y}{dt}\hat{j}+\frac{dv_z}{dt}\hat{k}$$

Analogamente a quanto mostrato nel paragrafo sovrastante riguardante la velocità, dimostro che dato che

$${\vec {a}}(t)=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}}$$

$$\vec{a}(t)=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}$$

allora si deduce che

$$a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt}};\qquad a_{y}={\frac {dv_{y}}{dy}}={\frac {d^{2}y}{dt}};\qquad a_{z}={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt}}.$$

$$a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt}; \qquad a_y=\frac{dv_y}{dy}=\frac{d^2y}{dt}; \qquad a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt}.$$

Moto circolare

Definizione (Moto circolare)

Si definisce moto circolare il caso particolare di moto curvilineo che abbia traiettoria circolare di centro $O$$O$ e raggio $R$$R$

 

Definizione (Coordinata curvilinea)

Si definisce coordinata curvilinea (e si indica con $s$$s$) la lunghezza orientata dell'arco

 

• Legge oraria:
  $$\theta =\theta (t)$$

  $$\theta=\theta (t)$$
  Se il moto è circolare uniforme, la velocità angolare è costante: $\omega =\omega _{0}$$\omega =\omega _0$, quindi si ha che:
  $${\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0};\quad d\theta =\omega _{0}dt;$$

  $$\frac{d \theta}{dt}= \omega_0; \quad d\theta =\omega _0dt;$$
  $$\int _{\theta _{0}}^{\theta (t)}d\theta =\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}dt;$$

  $$\int_{\theta _0}^{\theta (t)}d\theta =\int_{t_0}^{t}\omega _0dt;$$
  $$[\theta ]_{\theta _{0}}^{\theta (t)}=\omega _{0}[t]_{t_{0}}^{t};\quad \theta (t)-\theta _{0}=\omega _{0}t-\omega _{0}t_{0};$$

  $$[\theta ]^{\theta (t)}_{\theta _0}=\omega _0[t]^t_{t_0}; \quad \theta (t) - \theta _0=\omega _0t-\omega _0 t_0;$$
  Dato che $t_{0}=0s,\quad \omega _{0}t_{0}=0$$t_0=0 s, \quad \omega _0 t_0=0$, perciò:
  $$\theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}t$$

  $$\theta (t)=\theta _0+\omega _0 t$$
  ponendo $\theta _{0}=0_{\text{rad}}$$\theta _0=0_\text{rad}$,
  
  $$\theta =\omega t$$

  $$\theta = \omega t$$

• Scomposizione del moto:Applicando quanto appreso nel caso generale del moto curvilineo in due dimensioni sulle componenti dei vettori v(t) e a(t) a quello specifico del moto circolare, ottengo:
  $$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=r\cos \theta =r\cos(\omega t)\\&y(t)=r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$$

  $$\left\{ \begin{aligned} &x(t)=r\cos\theta =r\cos(\omega t) \\ &y(t)=r\sin(\omega t) \\ \end{aligned} \right.$$
  $$\left\{{\begin{aligned}&V_{x}(t)={\frac {dx}{dt}}=-\omega r\sin(\omega t)\\&V_{y}(t)=\omega r\cos(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$$

  $$\left\{ \begin{aligned} &V_x(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega r \sin(\omega t)\\ &V_y(t)=\omega r\cos(\omega t)\\ \end{aligned} \right.$$
  $$\left\{{\begin{aligned}&a_{x}(t)={\frac {dV_{x}}{dt}}=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\&a_{y}(t)={\frac {dV_{y}}{dt}}=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.$$

  $$\left\{ \begin{aligned} &a_x(t)=\frac{dV_x}{dt}=-\omega ^2r\cos(\omega t)\\ &a_y(t)=\frac{dV_y}{dt}=-\omega ^2r \sin(\omega t)\\ \end{aligned} \right.$$
  dove $a$$a$ è detta accelerazione centripeta

Definizione (Accelerazione centripeta)

accelerazione che causa il curvamento della traiettoria, senza modificare il modulo della velocità angolare ω

 

→ Per questo si parla di moto uniforme nonostante sia presente un'accelerazione!

• legame tra v,ω,a
  $$\theta ={\frac {S}{R}}$$

  $$\theta =\frac{S}{R}$$
  $$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {V}{R}}$$

  $$\omega =\frac{d\theta }{dt}=\frac{V}{R}$$
  Dato che $V={\frac {dS}{dt}}$$V=\frac{dS}{dt}$ si può dedurre che
  $$\omega ={\frac {1}{R}}\cdot {\frac {dS}{dt}}$$

  $$\omega = \frac{1}{R}\cdot \frac{dS}{dt}$$
  .
  $$|{\bar {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}R\cos(\omega t))^{2}+(\omega ^{2}R\sin(\omega t))^{2}}}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)}}$$

  $$|\bar{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{(\omega ^2R\cos (\omega t))^2+(\omega ^2R\sin (\omega t))^2}=\omega ^2R\sqrt{\cos ^2(\omega t)+\sin ^2(\omega t)}$$
  Dato che $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$$\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha =1$ si deduce che $\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)=1$$\cos ^2(\omega t)+\sin ^2(\omega t)=1$ e dunque
  $$|{\bar {a}}|=\omega ^{2}R\cdot 1=\omega ^{2}R$$

  $$|\bar{a}|=\omega ^2R\cdot 1=\omega ^2R$$
  Tenendo inoltre conto del fatto che $\omega ={\frac {V}{R}}$$\omega =\frac{V}{R}$, si può ricavare l'accelerazione in funzione della velocità istantanea
  $$a_{c}={\frac {V^{2}}{R}}$$

  $$a_c=\frac{V^2}{R}$$