Pendolo fisico

Nella meccanica del punto materiale abbiamo già trattato del pendolo, trattando in quel caso un semplice punto materiale appeso ad un filo. Nella realtà, però, abbiamo a che fare con strumenti ben diversi, con caratteristiche fisiche ben diverse che non possono essere approssimabili a punti materiali: trattiamo qui di pendoli fisici, ovvero di oggetti che pendolano.

Qualsiasi oggetto può comportarsi da pendolo fisico; l'esempio più immediato, e rilevante per confronto con il pendolo semplice, è una sbarretta omogenea che può ruotare attorno a un estremo. La variabile che descrive il moto del corpo è l'angolo che la sbarretta forma con la verticale, quindi il problema presenta un solo grado di libertà. Come verso positivo, scegliamo l'angolo che forma a destra della verticale.

Le forze agenti sul corpo sono la reazione del vincolo , che è applicata al perno attorno al quale ruota il corpo; non conosciamo nulla di questa forza, ne modulo, ne direzione o verso. Conosciamo invece la forza peso applicata al centro di massa della sbarretta, ovvero al centro geometrico, e diretta verso il basso. Per studiare il moto sfruttiamo la seconda legge cardinale dei sistemi, scegliendo come polo il punto attorno al quale la sbarretta ruota. Avremo quindi:

Avendo scelto come polo il braccio della forza vincolare è nullo e non contribuisce quindi al momento. Il fattore ha invece modulo:

La distanza dal polo del centro di massa è infatti metà sbarretta, e l'angolo formato tra il braccio e la forza peso è lo stesso che l'asta forma con la verticale. Notiamo inoltre che il momento è di richiamo: per angoli positivo esso assume segno negativo e l'asta ruota in senso orario, tendendo a tornare alla posizione d'equilibrio; analogamente, per angoli negativi ha verso positivo, l'asta ruota in senso antiorario e torna sempre verso la posizione di equilibrio. La componente lungo l'asse sarà quindi:

Applichiamo ora la legge cardinale:

Otteniamo l'espressione:

Per angoli piccoli approssimiamo , ottenendo l'equazione differenziale di un oscillatore armonico:

La pulsazione del moto sarà , mentre la soluzione del problema è data dall'equazione:

Ricordiamo che il momento d'inerzia di una sbarretta ruotante attorno a un asse passante per l'estremo è ; sostituendolo nell'espressione della pulsazione:

Che è molto simile a quella ottenuta per il pendolo semplice, che ricordiamo essere .

Pendolo fisico a cono[modifica | modifica wikitesto]

Come per il pendolo semplice, anche per il pendolo fisco può esserci il caso in cui l'oggetto non oscilli bensì ruoti attorno a una quota fissa, mantenendo l'angolo con la verticale costante. Le forze agenti restano sempre , reazione vincolare, e , forza peso, applicata al centro della sbarretta. Come polo scegliamo anche questa volta il punto di vincolo , per cui la reazione vincolare non contribuisce al momento in questo caso. Quindi sarà:

In modulo avremo che . Per il momento angolare, invece:

Però, come già sappiamo, questo procedimento porta a

La componente verticale del momento angolare sarà data da

Il momento delle forze esterne, in modulo, è uguale a ; uguagliandolo al momento sopra calcolato:

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