Momento d'inerzia

Abbiamo introdotto nello scorso capitolo il momento di inerzia.

Definizione (Momento d'inerzia)

Si definisce momento d'inerzia di un corpo rigido l'integrale:

Dove è la distanza dall'asse di rotazione dell'elemento infinitesimo di massa .

 


Il momento di inerzia varia a seconda della forma del corpo rigido e della sua massa. In questo capitolo calcoleremo i momenti di inerzia di solidi noti. Ricordiamo che ci sono tre modi per esprimere , in base al tipo di densità:

Ricordiamo infine che, per i corpi rigidi formati da più forme, il momento d'inerzia risulta essere additivo; per fare un esempio, il momento di inerzia del pendolo di un orologio a pendolo sarà la somma del momento della sbarretta e del momento del disco.

Momento d'inerzia di un anello[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo un anello di raggio e massa , che ruota attorno all'asse ortogonale che passa per il suo centro. Avremo che tutti i punti distano dall'asse ; possiamo scrivere , dove , ovvero la massa totale diviso la lunghezza totale dell'anello. Il momento di inerzia per un asse passante per il centro, quindi, sarà:

Un'osservazione importante è che questo risultato coincide con il momento di inerzia di un cilindro cavo; in questo caso potremmo scrivere , che è esattamente uguale al caso dell'anello.

Momento d'inerzia di un disco omogeneo[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo un disco omogeneo di raggio e massa ruotante attorno ad un asse ortogonale passante per il suo centro. La densità di massa superficiale sarà . Per calcolare il momento di inerzia del disco, lo dividiamo in tanti piccoli anellini concentrici, i cui raggi vanno da a . Allora avremo che , e . Calcoliamo il momento:

Abbiamo fin da subito portato fuori la densità poiché non influiva nel calcolo dell'integrale. Notiamo che lo stesso risultato lo si ottiene per un cilindro omogeneo pieno. In questo caso potremmo scrivere , dove . Quindi l'infinitesimo di massa , esattamente come il caso appena analizzato.

Momento d'inerzia di una sbarretta[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo una sbarretta omogenea, di cui larghezza e spessore sono trascurabili (ovvero risulta notevole solo la lunghezza) che ruota attorno a un asse passante per il suo centro. In questo caso , e semplicemente; la densità . La distanza dall'asse , per evitare problemi di segno. Avremo quindi:

Momento d'inerzia di un disco bucato[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo un disco omogeneo, come il caso analizzato prima, solo che questo presenta un buco al suo centro. Chiameremo il raggio del buco, mentre sarà la distanza tra la circonferenza esterna del disco e quella del buco. Notiamo che , ovvero la loro somma da il raggio del disco.

In questo caso, avremo , poi e la distanza dall'asse, come prima, . Il metodo utilizzato è lo stesso precedente, ovvero dividere in anellini il disco bucato. Il momento di inerzia sarà:

Momento d'inerzia di una sfera[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso, prendiamo una sfera omogenea ruotante attorno a un qualsiasi asse passante per il suo centro. La sua massa e raggio . L'infinitesimo , dove .

Per calcolare il momento d'inerzia della sfera, la dividiamo in tanti dischi infinitesimi a posizione . Il loro raggio sarà: e spessore .

A seguire, ogni dischetto viene diviso in tanti piccolini anellini, allo stesso modo del calcolo del momento di inerzia di un disco. Passiamo alla dimostrazione.

Teorema di Huygens-Steiner[modifica | modifica wikitesto]

Concludiamo il capitolo con un teorema di importanza fondamentale. I momenti di inerzia qui sopra calcolati sono rispetto al centro di massa, ovvero i corpi ruotano attorno a un asse che passa nel loro baricentro. Per definizione di momento d'inerzia, però, cambiando l'asse di rotazione, cambia anche il valore di . Per questo motivo, poiché spesso si ha a che fare con corpi che ruotano attorno a punti diversi dal centro di massa, è opportuno dimostrare il teorema di Huygens-Steiner.

Teorema (di Huygens-Steiner)

Il momento d'inerzia di un corpo rigido ruotante attorno a un asse qualsiasi è pari a:

Dove è il momento d'inerzia del corpo rispetto al centro di massa e è invece la distanza tra gli assi.

 


Dimostrazione

Prendiamo, per semplicità, un sistema discreto; di questo analizzo un generico punto . Disegno il piano passante per che sia perpendicolare ai due assi. I punti di intersezione tra piano e assi sono e , dove ricordiamo che l'asse è l'asse generico, mentre quello passante per il centro è . Avremo a questo punto:

La relazione che lega le tre distanze qui sopra è: . Inoltre, è la distanza del punto dall'asse , ovvero quella che ci serve per calcolare il momento d'inerzia:

Nell'ultimo passaggio, l'espressione viene nulla, poiché essa rappresenta la distanza del centro di massa dall'asse , ma il centro di massa appartiene all'asse . È così dimostrato il teorema.

 


Tabella dei momenti d'inerzia[modifica | modifica wikitesto]

Solidi Momenti di inerzia rispetto al centro di massa Momenti di inerzia rispetto a un estremo
Anello o Cilindro cavo
Disco o Cilindro pieno
Sbarretta
Disco o cilindro bucato
Sfera
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