Sistema di riferimento del centro di massa

Nello studio della dinamica dei sistemi di punti è spesso utile considerare il sistema di riferimento del centro di massa. Un tale sistema di riferimento ha queste caratteristiche:

  • l'origine degli assi si trova nel centro di massa;
  • gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale;
  • non è in generale un sistema inerziale, poiché in generale non è nulla la risultante delle forze esterne agenti sul sistema.

Indicando con un apice le grandezze riferite al sistema di riferimento del centro di massa possiamo scrivere per ogni punto

dove è il raggio vettore che identifica la posizione dell'i-esimo punto rispetto a un sistema di riferimento inerziale e è il vettore che unisce le origini dei due sistemi di riferimento. Dal teorema delle velocità relative con abbiamo che

Poiché abbiamo assunto il centro di massa come riferimento valgono le relazioni

da cui
ovvero la quantità di moto del sistema, somma delle quantità di moto dei singoli punti, è nulla se viene calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa.
Facciamo ora alcune considerazioni energetiche. L'energia cinetica del sistema così come è misurata nel sistema di riferimento inerziale è:

che possiamo scrivere come

Il primo termine rappresenta l'energia cinetica del sistema di punti così come è misurata nel sistema di riferimento del centro di massa, il secondo termine è l'energia cinetica del centro di massa, misurata nel sistema di riferimento inerziale, e infine l'ultimo termine è nullo, in quanto sappiamo che la quantità di moto del sistema misurata nel sistema del centro di massa è nulla. In definitiva possiamo scrivere

che rappresenta il teorema di König per l'energia cinetica. L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è uguale alla somma dell'energia cinetica del sistema misurata nel sistema di riferimento del centro di massa più l'energia cinetica del centro di massa stesso, misurata nel sistema inerziale.

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