Mutua interazione: problema dei due corpi

Il problema della mutua interazione riguarda casi in cui sono presenti due punti materiali i quali si esercitano a vicenda una forza. Prendiamo un caso semplificato: due corpi di massa e , posti a distanza , esercitando ognuno una forza attrattiva sull'altro, la cui direzione è la retta congiungente i due punti materiali. Avremo che le due forze sono uguali ed opposte: chiameremo il loro modulo .

Prendiamo un sistema di riferimento con l'origine nel centro di massa del sistema. In questo modo il sistema non sarà accelerato, bensì si muoverà di moto costante, per tale è un sistema di riferimento inerziale per il quale valgono le leggi della dinamica. Avremo quindi che:

Dove nell'ultima espressione si è passati al modulo delle distanze. Studiamo a questo punto il moto di uno dei due corpi, prendiamo in analisi quello con massa

Notiamo due cose: primo, che la forza è funzione della distanza tra i due punti. Secondo, che la distanza tra i due punti coincide con la somma delle distanze dei punti dal centro di massa, ovvero: . Per scriverlo in maniera migliore, evidenziamo come: . Poiché abbiamo visto poco sopra la relazione che lega il rapporto dei due raggi, possiamo a questo punto scrivere:

Andiamo adesso a sostituire questa espressione nella formula della forza:

Diamo una definizione rapida:

Definizione (Massa ridotta)

Si definisce massa ridotta di un sistema a due punti:

 


Detto questo, otteniamo infine:

Questa conclusione è importante: il problema di due punti in mutua interazione può essere ridotto a un solo corpo avente come massa la massa ridotta. Questa conclusione riguarda tutti i casi di mutua interazione.

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