Spazio delle fasi e diagramma di fase

Definizione (Spazio delle fasi)

Sia la funzione:

Dato un del tipo:

Si dice spazio delle fasi l'insieme di punti che descrivono ogni stato del sistema:

 


Notiamo subito che ha un'unica soluzione se è di classe per il teorema di esistenza e unicità; questo in sostanza ci dice che conoscendo lo stato iniziale del sistema (posizione e velocità), possiamo determinarne una qualunque evoluzione nel tempo. Un ragionamento del genere ha giustificato tutta la corrente filosofica del "determinismo" pre-quantistica.

Consideriamo adesso l'equazione di conservazione dell'energia meccanica:

Se consideriamo il problema di Cauchy di cui sopra, possiamo definire . L'integrale generale deve soddisfare la relazione:

Dove il passaggio dalla prima alla seconda equazione è lecito poichè è una costante e possiamo fissarla momentaneamente uguale a senza perdere di generalità.

A questo punto lo scopo del corso è di studiare la relazione esistente tra e , che saranno posizione di un punto materiale o corpo e la sua velocità; quindi possiamo considerare la funzione come una variabile libera e lasciare la dipendenza dal tempo in maniera implicita. L'equazione che dà la velocità dunque diventa:

Definizione (diagramma di fase)

Il grafico formato dai due rami di parabola è detto diagramma di fase

 


Esempio

Sia . Il associato sarà:

Da cui possiamo ottenere un valore per l'energia meccanica iniziale e infine un'equazione per la velocità .

Mech 1.svg

 
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