Sistemi di Punti Materiali

concetti espressi dai principia di Newton possono essere ampliati anche a sistemi di n punti materiali (liberi).

Grandezze globali[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema può essere descritto mediante delle quantità derivate dalla somma delle proprietà dei singoli punti che lo formano.

  • La massa del sistema si calcola come
  • Il momento lineare del sistema si calcola come
  • Il momento angolare del sistema (rispetto al polo )si calcola come
  • Il centro di massa del sistema

Proprietà globali[modifica | modifica wikitesto]

Un assioma utilizzato di Newton è il principio di sovrapposizione, per cui se ho un sistema di n elementi, gli effetti delle forze esercitate su di un punto sono tutte le forze che gli vengono applicate dagli altri punti.

Quindi: 

Altre due proprietà fondamentali sono invece le due equazioni cardinali della dinamica

Teorema (Prima equazione cardinale della dinamica)

Il moto del centro di massa di un sistema dipende solo dalle forze esterne al sistema:

 
Dimostrazione

Per la definizione dell'impulso possiamo scrivere

Per il terzo principio della dinamica, possiamo osservare come tutte le forze interne siano a coppie uguali e opposte e quindi la loro somma è nulla. Da cui la tesi.

 
Osservazione

Per un sistema soggetto a una somma di forze esterne nulla, , quindi il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme

 

Prima di introdurre la seconda equazione cardinale e la sua dimostrazione, è utile ricordare questa proprietà dei prodotti tra vettori:

Lemma

e

 
Teorema (Seconda equazione cardinale della dinamica)

Il momento angolare del sistema dipende dalla velocità del polo e dalla somma dei momenti rispetto al polo dei singoli punti:

 
Dimostrazione

Considero

Per il lemma precedente, posso scrivere Portando la formula ad una somma di contributi (che ricordiamo essere una grandezza additiva), otteniamo la tesi, poiché: e

Con .

Quest'uguaglianza è identicamente uguale a poiché il secondo termine della parte destra è nullo per la dimostrazione precedente e il primo termine della parte destra può essere riscritto come:

Dove la terza parte dell'uguaglianza ha subito solo un cambio di variabile rispetto alla seconda.

Ora, per il terzo principio della dinamica:

e .

 
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