Relatività Galileiana

In generale, un osservatore associa a ogni evento una quaterna ordinata e univocamente determinata di coordinate reali, in un sistema di riferimento di cui occupa l'origine.

Dati due eventi e , l'intervallo di tempo che intercorre tra essi viene misurato dall'osservatore come , mentre la distanza spaziale fra i due eventi viene misurata come e negli spazi normati n-dimensionali si misura come .

Cambio di osservatore[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere due osservatori e .

L'ipotesi di fondo della relatività galileiana è che lo spazio-tempo, ovvero l'insieme di tutti gli eventi, sia uno spazio affine di dimensione 4.

Ricordando che uno spazio affine è quello formato dai vettori con sottospazio vettoriale e .

Quindi, uno stesso evento descritto da con le coordinate , viene descritto da con le coordinate affini: , con matrice e vettore legato alla traslazione o la rotazione relativa tra i sistemi di riferimento centrati in e .

L'equazione è detta in geometria equazione del cambio di fase e in ambito fisico equazione di cambio d'osservatore.

Prima di descrivere la forma di , è utile introdurre l'assioma della relatività galileiana e alcune classi di matrici.

l'assolutezza dello spazio-tempo[modifica | modifica wikitesto]

Assioma (di assolutezza dello spazio-tempo)

Comunque prese due misure del tempo, l'intervallo di tempo è invariante (o assoluto) tra ogni sistema di riferimento, inerziale o non.

 

In formule: con , e che devono valere per le formule di trasformazione di sopra.

Quindi, con la trasformazione affine , l'equazione del cambio di osservatore diventa in :

.

Con gli che formano una matrice ortogonale , che chiameremo .

Da questa equazione si ricavano le trasformazioni di Galileo tra due sistemi in quiete relativa:

Proprietà della matrice [modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di Gruppo Ortogonale)

In uno spazio di tre dimensioni, l'insieme delle matrici del tipo si chiama "gruppo ortogonale".

 

Per le proprietà delle matrici risulta implicito che e anche che .

fa parte del gruppo ortogonale.

Proposizione

è un sottogruppo di , ovvero il "gruppo delle matrici invertibili" .

Gli elementi hanno quindi queste proprietà:

 
Dimostrazione
  1. Poiché e quindi , allora per il teorema di Binet e dato che , possiamo dire che e e quindi .
  2. Questo punto è ovvio, per la definizione di .
  3. Voglio dimostrare che . Osservo che, per la proprietà associativa, e le proprietà di :
  4. Per le proprietà di deduco che che e che . Inoltre, poiché , quindi .Una possibile dimostrazione alternativa al punto quattro della proposizione è la seguente:
 
Dimostrazione (alternativa al punto 4)

Poiché , .

Questa dimostrazione è meno generale della prima, poiché non sempre si avvera la condizione , come per esempio nel caso delle trasformazioni di Lorentz.

 


Osservazione

Dalle forma delle matrici, possiamo osservare come sia una matrice invertibile, poiché .

 

Composizione delle velocità[modifica | modifica wikitesto]

Considerando tre osservatori , e , per cui valga:

e

Da queste uguaglianze, otteniamo che:

Per cui risulta

che sono le formule di composizione delle velocità tra e derivate da quelle di e .

Osservazione

Queste operazioni di composizione e l'invertibilità delle matrici, dimostrano algebricamente che l'inerzialità di un sistema di riferimento rispetto ad un altro è una relazione di equivalenza (simmetrica, riflessiva e transitiva). Questo, insieme all'assolutezza dello spazio-tempo permettono di dimostrare che due sistemi di riferimento inerziali sono tra di loro indistinguibili rispetto a qualsiasi trasformazione meccanica e non esistono sistemi di riferimento assoluti.

 

Invariante Relativistico (excursus)[modifica | modifica wikitesto]

Al contrario di Galileo, per cui vale l'assioma di assolutezza dello spazio tempo, Hendrik Lorentz ha sviluppato sul finire del XIX secolo delle trasformazioni per cui l'invariante è la quantità , chiamato invariante relativistico o scalare di Lorentz, con velocità della luce, fattore che moltiplicato lo rende un intervallo spaziale.

Questo risultato si ottiene dal prodotto

La matrice al centro è chiamata .

Lo spazio-tempo matiene la sua struttura affine anche con queste trasformazioni, oltre che con quelle di Galileo, infatti, considerata un'altra quaterna di coordinate vale l'uguaglianza , con matrice.

Da questa uguaglianza, si ottiene che

Da cui si ottiene la forma matriciale delle trasformazioni di Lorentz: . Una trasformazione è di Lorentz, se e solo se è descrivibile con una matrice che rispetti questa equazione.

Conoscendo è possibile ricavare la forma della matrice , con metodi che vanno oltre questo specifico corso.

L'uso nella relatività ristretta[modifica | modifica wikitesto]

Einstein fece uso, nella formulazione della relatività speciale, di una trasformazione di Lorentz in due dimensioni, poiché questa permetteva di mantenere il valore di costante.

La matrice associata alla trasformazione di Einstein è: .

Si dimostra che questa matrice è di Lorentz, poiché e poiché, per definizione, . Quindi .

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