Formalismo di Seconda Quantizzazione per Fermioni

Il formalismo appena visto per i bosoni si puo' estendere ai fermioni a patto di tenere presente che la funzione d'onda totale deve essere antisimmetrica. In termini di autofunzioni di singola particella si puo' quindi scrivere come un determinante di Slater:

si noti che questa scrittura permette automaticamente di soddisfare il principio di Pauli, in quanto l'antisimmetria è automaticamente soddisfatta.

Si cerchino ora degli operatori analoghi agli operatori bosonici:

Si possono ora presentare solo due casi: oppure . Se , l'operatore non agisce e restituisce 0. Se allora nel determinante compare una seconda riga e di conseguenza si annulla.

Consideriamo il caso e . In questo caso l'operatore allora cambia la riga ma non preserva la normalizzazione. E' importante specificare l'ordine degli stati e quindi sistemarli nell'ordine giusto, si devono quindi effettuare delle permutazioni di righe che cambiano segno al determinante. Cerchiamo quindi un operatore del tipo:

dove il segno corretto e' nell'operatore . Indichiamo gli stati occupati con la notazione:
allora risulta:
dove con si intende il numero di stati che precedono il p-simo. Piu' in generale se:
allora e apportano il segno giusto. Consideriamo infatti per semplicita' il caso .
e e' proprio il numero di posti di cui si e' scambiato lo stato. Come si vede, l'operatore crea un fermione nello stato e l'operatore distrugge un fermione nello stato e sono chiamati pertanto rispettivamente opearatore fermionico di creazione e operatore fermionico di distruzione.

Segue dalla definizione degli operatori :

infatti se :
quando si calcola , agisce su uno stato occupato in piu' ed ha quindi un segno meno in piu' che annulla la somma. In modo analogo si ricavano le regole:

In maniera analoga a quanto fatto per i bosoni, e' possibile introdurre degli operatori definiti come:

Siccome e anticommutano risulta, ancora in analogia al formalismo bosonico:
e:[1]

Si vede che l'opearatore crea un fermione nella posizione e l'operatore distrugge un fermione nella posizione e sono dunque chiamati operatori di campo fermionico.

Da notare che i campi associati non sono osservabili, in quanto se si introduce in questa trattazione anche il tempo risulta che questi operatori non commutano su distanze time-like.

  1. Si ricordi che le sono un sistema completo.
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