Formalismo di Seconda Quantizzazione per Bosoni

Consideriamo bosoni non interagenti e siano le funzioni d'onda di singola particella, dove indica il numero di particelle nello stato . Se le particelle non fossero indentiche la funzione totale si scriverebbe come:

poiche' pero' le particelle sono bosoni identici occorre prendere la somma su tutte le permutazioni non banali, ovvero permettere la permutazione delle prime particelle fra loro, delle seconde e cosi' via. Queste permutazioni sono in numero di e quindi la funzione totale va anche moltiplicata per per mantenere la normalizzazione. Si indichi con lo stato simmetrico ottenuto in questo modo.

Chiamiamo ora operatore collettivo un operatore definito come:

dove il singolo operatore agisce sulla singola particella. Ricerchiamo quindi gli elementi di matrice di questo operatore . Se si suppone gli diagonali, allora:[1]
si ricava:

Se questi operatori soddisfano invece la relazione:

questo agisce solo sulle funzioni d'onda relative alla particella e manda lo stato () nello stato con autovalore 1. In altre parole, questo operatore sposta in : se lo stato manca esso non agisce, ma se e' presente almeno una particella la manda nello stato . Se inizialmente lo stato ha particelle e lo stato ne ha , dopo l'azione dell'operatore lo stato si ritrova con particelle e lo stato con . Gli elementi di matrice devono allora essere del tipo , a cui va aggiunta la normalizzazione.

Prima dell'azione degli ci sono addendi in , dopo il numero dei prodotti degli stati per singola particella e':

con il fattore di normalizzazione . Per azione diretta si ricava il numero di termini:
con una normalizzazione data da . Per confronto:
da cui in definitiva:

L'analogia con gli operatori di creazione e distruzione suggerisce la definizione degli operatori:

che soddisfano la relazione . L'operatore crea una particella nello stato e l'operatore distrugge una particella nello stato , sono chiamati pertanto rispettivamente operatore bosonico di creazione e operatore bosonico di distruzione.

In termini di questi operatori risulta:

Se si considera il generico opeartore con elementi di matrice che soddisfa la , ricordando la definizione di data sopra si puo' riscrivere come:

Consideriamo infine gli operatori:

Questi operatori soddisfano le relazioni:

e
poiche' le sono anche un sistema completo, vale la relazione:
Da queste relazioni si deduce che l'operatore crea una particella nella posizione e l'operatore distrugge una particella nella posizione . Questi operatori sono chiamati operatori di campo bosonico.

  1. Per allegerire la notazione indicheremo d'ora in poi semplicemente con
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