Operatore energia, impulso e momento angolare

Dimostreremo ora che l'operatore può essere effettivamente interpretato come operatore energia, in analogia all'equazione di Schrödinger.

Dalla sua definizione, il valore medio è dato da:

Si noti incidentalmente che per particelle a massa nulla, siccome vale , la relazione risulta automaticamente dimostrata.

L'energia del campo elettromagnetico è data da:

e siccome vale la relazione:
si ricava per l'energia:
ma per cui risulta:[1]
e si ottiene:

In termini di risulta:

ovvero:
e questa è esattamente la definizione di valor medio di a patto di porre:
e cioé l'operatore rappresenta effettivamente l'energia se:

Sia ora una soluzione con , cioe' del tipo . L'energia è quindi fissata da :

il che implica che le siano normalizzate.

Riscriviamo ora l'impulso associato al campo. Il vettore di Poynting ha la forma:

ovvero:
ma:
e l'ultimo termine per la regola sul prodotto triplo fornisce:
da cui:
ed esprimendo in questa equazione i campi in termini delle :
ma in quanto sono reali. Si ottiene pertanto:
e quindi è proprio l'impulso associato al fotone. Nello spazio delle :
ma in realtà la non è interpretabile dal punto di vista probabilistico. Infatti, per poter localizzare un fotone, questo deve necessariamente interagire con i campi e :
La presenza di una radice di ([2]) ci conduce infatti ad una e questo significa che determinare la non è sufficiente per determinare i campi e . In altri termini: il fotone non è localizzabile esattamente e addirittura per lunghezze d'onda inferiori a quelle del fotone non ha nemmeno senso il concetto di localizzazione.

Consideriamo ora il momento angolare associato al campo elettromagnetico.

in questo caso non si può estrarre la delta dall'integrale. Però, notando che:
e sostituendo:
si può quindi integrare per parti e (trascurando i termini ad infinito che si annullano) ottenere:
che riscritta in termini delle :
dove con la notazione si intende "considerato costante sotto l'operatore ".

Questa equazione rappresenta di fatto il valore medio dell'operatore momento angolare:

In questa equazione può essere facilmente riconosciuto un termine che rappresenta il noto momento angolare:
più un altro termine di momento angolare che deve pertanto essere riconosciuto come il momento angolare associato allo "spin", il cui operatore è quindi definito da:

Formalmente quindi:

  1. Si e' utilizzata la proprieta'.
  2. Presente nel fattore
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